CSP-J 入门级 · CSP 2020 入门级第一轮 第 14 题

$10$ 个三好学生名额分配到 $7$ 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。

这题本质是隔板法的应用。先给每个班级分好1个名额，把问题转化为'3个名额分给7个班级（可空）'，再用隔板公式 C(n+m-1, m-1) 直接算出结果。

最容易掉进两个坑：一是看到'10个分7个'就下意识套 C(10,7) 或 C(10,6)，完全忽略了名额是相同的、班级是不同的这两个核心条件；二是把隔板法公式记混，'允许空'和'至少一个'的公式长得很像，但分子里的 n 取值不同，一旦用错公式，算出来的数会差很远，比如把 C(9,6) 错算成 C(10,6) 就会选错。

考点定位：排列组合里的隔板法（也叫插板法）。这是 CSP 入门级和 GESP 六级、五级里高频出现的纯计算题型，命题人特别喜欢用'名额分配''糖果分给小朋友''任务分给组员'这类生活化场景来挖坑，因为公式长得很像，学生很容易凭直觉选错。从历年数据看，排列组合基础在题库里共考了 147 题，覆盖 8 个级别，其中 2024 年考了 40 题、2025 年考了 43 题，热度极高，属于必考内容；计数原理考了 36 题，CSP 入门级就占了 13 题，说明这类题在入门阶段就是硬骨头。虽然 2026 年数据里排列组合基础考了 12 题、计数原理考了 9 题，但结合 2024-2025 的爆发式增长，可以预测未来几年这类题依然会保持高频率，命题人可能会继续用'隐含条件'（比如'至少一个'）来区分学生是否真正掌握了隔板法的两种变体。

概念拆解：隔板法解决的是'把 n 个相同物品分给 m 个不同的人，每组至少一个'的问题。核心技巧是'先保底，再插板'。如果题目允许某组为空，公式是 C(n+m-1, m-1)；如果要求每组至少一个，公式是 C(n-1, m-1)。注意这里的 n 和 m 在两个公式里的角色完全不同，千万别把两个公式里的 n 当成同一个数。

思维路径：拿到这道题，先别急着套公式。第一步，看清物品是否相同（三好学生名额是相同的），分组是否有序（7 个班级是不同的）。第二步，处理限制条件'每个班级至少有一个'。这时候就要用'先保底'的策略：先把 7 个名额，每个班级发 1 个，这一步只有一种分法（因为名额相同）。第三步，剩下的名额是多少？10 - 7 = 3 个。现在问题变成了'3 个名额分给 7 个班级，允许有空班级'。第四步，套用'允许空'的隔板公式：C(3 + 7 - 1, 7 - 1) = C(9, 6)。第五步，计算组合数：C(9, 6) = C(9, 3) = (9×8×7)/(3×2×1) = 504/6 = 84。

避坑指南：这道题最典型的错误就是直接选 C(10, 7) = 120 或者 C(10, 6) = 210，这两个选项都在题干里，很容易误导学生。为什么错？因为 C(10, 7) 是从 10 个名额里选 7 个给班级，剩下的 3 个没地方去，这完全违背了'每个班级至少一个'的前提；而 C(10, 6) 更是把名额当成了不同的个体来选，忽略了名额相同这一关键特征。还有一种错误是把'至少一个'的公式 C(n-1, m-1) 里的 n 当成 10，算出 C(9, 6) = 84，碰巧答案对了，但逻辑是错的——因为 C(9, 6) 其实是'允许空'的公式算出来的，而'至少一个'的公式应该是 C(10-1, 7-1) = C(9, 6)，虽然数值一样，但推导过程不同。如果在更复杂的题目里，比如'10 个名额分给 7 个班级，允许空'，用'至少一个'的公式就会算出 C(9, 6) = 84，而正确答案应该是 C(10+7-1, 7-1) = C(16, 6) = 8008，这时候公式混淆就会导致巨大偏差。所以一定要记住：先判断限制条件，再决定用哪个公式，n 的取值也随之确定。

考频与趋势：排列组合基础在题库里共考了 147 题，覆盖 8 个级别，其中 2024 年考了 40 题、2025 年考了 43 题，热度极高，属于必考内容；计数原理考了 36 题，CSP 入门级就占了 13 题，说明这类题在入门阶段就是硬骨头。虽然 2026 年数据里排列组合基础考了 12 题、计数原理考了 9 题，但结合 2024-2025 的爆发式增长，可以预测未来几年这类题依然会保持高频率，命题人可能会继续用'隐含条件'（比如'至少一个'）来区分学生是否真正掌握了隔板法的两种变体。

预测：基于 2024 年 40 题、2025 年 43 题的高频数据，以及 GESP 八级 58 题、六级 26 题的分布，未来 CSP 入门级和 GESP 六级、五级中，隔板法及其变体（如'至少一个'、'至多一个'、'某组指定数量'）仍将是命题重点。命题人可能会在题干中加入更多干扰项（如'名额不同'、'班级相同'），或者将隔板法与其他计数原理（如容斥原理）结合，增加复杂度。暂无足够依据预测具体题型变化，但掌握隔板法的两种公式及其适用条件，是应对此类题目的基石。