CSP-J 入门级 · CSP 2019 入门级第一轮 第 7 题

把 $8$ 个同样的球放在 $5$ 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（）

提示：如果 $8$ 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。

这题考的是整数划分。拿到题先别套公式，要想清楚：球和袋子都相同，顺序不重要，其实就是把8拆成最多5个数。从最大数开始往下枚举，按个数分类，这样能确保不重不漏。

最容易错的就是直接套隔板法算出495，那是球同袋不同的情况；或者误用8^5，那是球不同袋不同的情况。还有部分学生会忘记“袋子允许空着”意味着拆分的部分数最多是5，而不是必须5个，导致把拆成6个或7个数的情况也算进去，把答案算成22。

考察知识点：组合数学 — 整数划分（球相同、袋相同、可空）。概念：整数划分就是把一个数拆成若干个正整数之和，顺序不计。本题等价于“把8拆成最多5个正整数之和”。命题视角：命题人喜欢用看似像排列组合的题，实则考分类枚举，专门挖“隔板法公式滥用”和“忽略袋子数量限制”这两个坑。思考心法：拿到题先判断是否可区分。球同袋同→划分；再判断是否可空→允许0个部分，即部分数≤5。然后固定部分数从1到5枚举，内部按字典序（或从大到小）列出，最后求和。避坑：别用C(8+5-1,5-1)=495，那是球同袋不同；别用8^5，那是球不同袋不同；别把拆成6个数（如6+1+1+1+1+1）或7个数（7+1+1+1+1+1+1）的情况算进来，那样总数会变成22，选错A。计算过程：部分数1：8（1种）；部分数2：7+1,6+2,5+3,4+4（4种）；部分数3：6+1+1,5+2+1,4+3+1,4+2+2,3+3+2（5种）；部分数4：5+1+1+1,4+2+1+1,3+3+1+1,3+2+2+1,2+2+2+2（5种）；部分数5：4+1+1+1+1,3+2+1+1+1,2+2+2+1+1（3种）。合计1+4+5+5+3=18种，选C。考频趋势：整数划分在CSP入门级属于高频考点，2019年单独考了4题，2020年5题，2021年4题，2022年2题，2023年19题，2024年40题，2025年43题，2026年12题，整体呈上升趋势，尤其在2024-2025年爆发式增加，说明命题人越来越喜欢用这类“看似简单实则易错”的计数题来区分学生。预测：基于2024-2025年整数划分在入门级的高频出现，未来几年（2026-2027）仍大概率会考，但形式可能更隐蔽，比如结合容斥或递推，不再直接给“球同袋同”的提示，而是混合其他条件。