CSP-J 入门级 · CSP 2019 入门级第一轮 第 13 题

—些数字可以颠倒过来看，例如 $0,1,8$ 颠倒过来还是本身，$6$ 颠倒过来是 $9$，$9$ 颠倒过来看还是 $6$，其他数字颠倒过来都不构成数字。 类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 $106$ 颠倒过来是 $901$。假设某个城市的车牌只由 $5$ 位数字组成，每一位都可以取 $0$ 到 $9$。 请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（）

这题核心就是找“对称”：中间位必须自反，两边成对互为颠倒数。先数中间能取几种，再数每一对（a,e）和（b,d）各能取几种，最后相乘。

最容易掉进两个坑：一是把中间位当成 6/9 也能用，其实 6 倒过来是 9、9 倒过来是 6，不等于自身，所以中间只能选 0/1/8；二是数“成对”时只算了 a 取几种就以为 e 自动定了，其实要算 a 与 e 互为颠倒的所有合法组合，比如 a=6 时 e 必须是 9，a=9 时 e 必须是 6，这样一对就有 5 种合法搭配。

考点与概念：本题属于组合计数里的“对称构造”。一个 5 位车牌 abcde 倒过来看变成 edcba，要让它和原来一样，必须满足：a 与 e 互为颠倒、b 与 d 互为颠倒、c 自己颠倒后等于自己。可颠倒的数字只有 0,1,8（自反）和 6,9（互反），其余数字颠倒后无效。

命题视角：出题人喜欢用“倒过来”这种生活化描述来包装对称约束，坑点就藏在中间位和成对位的取值规则上——中间位不能混进 6/9，成对位要算全组合数而不是只数一半。

思考步骤： 1. 中间位 c：只能从 {0,1,8} 里选，共 3 种。 2. 一对（a,e）：a 可以选 0/1/8/6/9 中的任意一个，e 随之被唯一确定且合法。列举：(0,0),(1,1),(8,8) 三种自反，加上 (6,9) 和 (9,6) 两种互反，一共 5 种合法搭配。 3. 另一对（b,d）：和上面完全一样，也是 5 种。 4. 乘法原理：总方案数 = 3 × 5 × 5 = 75。

避坑提醒：千万别把中间位当成 6/9 也能用，那样会多算；也别只数 a 的可能数就以为 e 自动对了，要数“互为颠倒”的所有组合数。

考频与趋势：排列组合基础在题库里共考过 147 题，覆盖 8 个级别，从 2007 到 2026 年年年都有，2024 年 40 题、2025 年 43 题、2026 年 12 题，说明这类“构造+计数”仍是高频考点。计数原理单独考了 36 题，CSP 入门级就占了 13 题，2019 年当年就有 6 题，可见入门级很爱出这种对称构造的小题。

预测：基于近年数据，未来入门级和 GESP 六级仍可能继续出“数字颠倒/镜像对称”类的计数题，形式可能换成“旋转 180°”“上下翻转”等变体，但核心仍是先找自反与互反的集合，再用乘法原理组合。暂无足够依据预测具体年份或题型细节。