CSP-J 入门级 · CSP 2019 入门级第一轮 第 12 题

—副纸牌除掉大小王有 $52$ 张牌，四种花色，每种花色 $13$ 张。

假设从这 $52$ 张牌中随机抽取 $13$ 张纸牌，则至少（）张牌的花色一致。

拿到题先想最坏情况：4种花色平均分配，每种先凑到3张（共12张），第13张无论抽什么花色，必然让该花色达到4张。

学生最容易掉进概率陷阱，觉得抽到4张同花色的概率很低，就选小数字，完全误解了'至少'的含义。'至少'不是问概率最大是多少，而是问在任意一种抽取结果下，花色数量最多的那个花色最少会是多少。还有人会死记硬背公式却不懂推导，或者把13张牌当成4种花色各3张正好12张，忘了第13张牌的存在，导致误选3。

这道题考查的是鸽巢原理（抽屉原理）在最坏情况下的应用，核心不是算概率，而是找必然成立的结论。命题人喜欢挖坑的地方就是让学生用概率思维去猜，或者只记住结论而不会推导。拿到题先想最坏情况：4种花色平均分配，每种先凑到3张（共12张），第13张无论抽什么花色，必然让该花色达到4张。所以答案是4，选A。也可以直接：⌈13/4⌉ = ⌈3.25⌉ = 4。避坑：'至少'的意思是无论怎么抽都能保证，所以要用最坏情况（均匀分布）来分析。常见错误：用概率算而不是最坏情况分析；不理解'至少'的含义——最坏情况下的保证；把13张牌当成4种花色各3张正好12张，忘了第13张牌的存在，导致误选3。从考频看，计数原理在题库中共考过36题，覆盖4个考试级别（2007-2025）；逐年分布：2007年4题、2008年2题、2009年1题、2010年2题、2019年6题、2020年4题、2021年3题、2022年1题、2023年3题、2024年5题、2025年5题；分赛事：CSP 提高级14题、CSP 入门级13题、NOIP 普及组 初赛5题、NOIP 提高组 初赛4题。该考点在2019年出现6次，近年2024-2025年也各有5次，说明仍是高频考点。基于数据与经验，未来CSP入门级和NOIP普及组初赛仍可能以'最坏情况+向上取整'的形式出现，比如把17张牌分5种花色（⌈17/5⌉=4）或21张分6种花色（⌈21/6⌉=4）等变体。暂无足够依据预测具体年份或题型细节。