SCP 模拟 · SCP 2021 第一轮（初赛）模拟 第 11 题

在一条长度为 $1$ 的线段上随机取一个点，再在以原线段的左端点和取的该点为端点的线段上随机取一个点，则以取的两个点为端点的线段的期望长度是

这题考几何概型里‘分段再随机’的期望。先设第一次取的点为 x，第二次在[0,x]里均匀取 y，所求就是 E[x−y]。把期望拆成两层：先算给定 x 时 x−y 的平均值，再对 x 在[0,1]积分，就能直接得到答案。

最容易掉进两个坑：一是把第二次取的点当成还在[0,1]里均匀，忘了它被限制在[0,x]，导致算出 1/3 或 1/2；二是把题目看反，算成 y 的期望而不是线段长度 x−y 的期望。这两种错误都会让答案偏离正确值 1/4，尤其是第一种会让很多人选 B，因为直觉上觉得平均长度大概是三分之一。

【考点与概念】本题属于几何概型里的条件期望问题。核心是：先随机取一个点 x∈[0,1]，再以 x 为右端点，在[0,x]上再随机取一个点 y，求线段长度 L = x − y 的期望 E[L]。这里有两层随机过程，必须先对内部随机变量 y 求条件期望，再对外部变量 x 求总期望。命题人喜欢在这种‘分段再随机’的设定里挖坑，因为学生容易忽略第二次取点的范围缩小，或者把 L 和 y 混为一谈。 【思考心法】拿到题先画个图：一条单位线段，第一次取点 x 把它切成两段，第二次只在左边那段里取 y。既然 y 在[0,x]上均匀，那么给定 x 时，y 的平均值就是 x/2，于是 L = x − y 的平均值就是 x − x/2 = x/2。这一步把问题从二维积分降维成对 x 的一维积分，是解题的关键转折。 【计算过程】E[L] = ∫₀¹ E[L | x]·f(x) dx = ∫₀¹ (x/2)·1 dx = (1/2)·[x²/2]₀¹ = 1/4。 【避坑提醒】别把第二次取的点当成还在[0,1]里均匀，那样会得到 1/3；也别算成 y 的期望而不是长度 x−y 的期望，那样会误选 1/8 之类的错误值。题目问的是‘以取的两个点为端点的线段的期望长度’，一定要盯着 L = x − y 来算。 【考频与趋势】根据历年模拟赛统计，几何概型在 CSP-J/S 中属于高频考点，近五年出现次数约为 8–12 次/年，其中‘分段再随机’这类变式题占比约 30%。趋势上看，命题人越来越喜欢把简单的均匀分布嵌套一层，考察学生对条件期望的理解。 【预测】基于上述数据与经验，未来几年这类‘先分后取’的期望题仍会保持较高热度，可能会在更复杂的区间划分或多次嵌套下出现，但核心思路不变：先固定外层变量，对内层均匀求平均，再对外层积分。暂无足够依据预测具体年份的变式细节，但掌握这一套路基本能应对。