NOIP 提高组初赛 · NOIP 2014 提高组初赛试题 第 6 题

在无向图中，所有顶点的度数之和是边数的( )倍.

这题考图论最基础的握手引理，拿到题先想‘每条边连着俩点，度数怎么算’。

很多初学者会直觉觉得一条边只让两个点各多1度，总度数就只加1，或者把有向图和无向图搞混，误以为总度数等于边数。其实无向图里每条边确实给两端各贡献1度，合起来就是2度，所以总度数是边数的两倍，别被‘每条边只连两个点’这句话误导成只加1。

握手引理（Handshaking Lemma）

这道题考查的是图论里最核心的一个结论：无向图中所有顶点的度数之和，等于边数的两倍。命题人爱拿这个基础概念挖坑，因为看起来太简单，学生容易凭直觉选错。

概念讲透

先说清楚什么是度数：一个顶点连了几条边，它的度数就是几。比如三角形里，每个顶点都连着两条边，度数就是2。

命题人怎么挖坑

命题人最喜欢让你掉进‘每条边只连两个点，所以总度数只加1’这个坑里。其实每条边虽然只连两个点，但它给这两个点各贡献了1度，加起来就是2度。所以总度数一定是边数的2倍，而不是1倍或0.5倍。

思考心法：拿到题先想什么

1. 先想边和点的关系：每条边连着两个点，给这两个点各加1度。 2. 再想总度数怎么算：把所有顶点的度数加起来，其实就是把所有边对度数的贡献加起来。 3. 最后算倍数：每条边贡献2度，所以总度数 = 边数 × 2。

具体怎么算（用题里给的例子验证）

比如一个三角形，有3条边。每条边给两个顶点各加1度，所以总度数 = 3 × 2 = 6。而3个顶点每个度数都是2，加起来也是6。6 ÷ 3 = 2，正好是2倍。

再比如一个四边形，4条边，总度数 = 4 × 2 = 8。每个顶点度数都是2，加起来也是8。8 ÷ 4 = 2，还是2倍。

避坑提醒

别把无向图和有向图搞混。有向图里，一条边只给起点贡献1度（出度），给终点贡献1度（入度），总度数还是2倍，但这里问的是无向图，直接套用握手引理就行。

也别误选A（0.5倍）或B（1倍），那是把‘每条边只连两个点’理解成‘总度数只加1’，完全错了。

考频与趋势

从题库数据看，图的基本概念一共考过281题，覆盖11个级别，2007年到2026年都有出现，2023年突增36题，2024年61题，2025年58题，2026年71题，说明这类基础概念在近年越来越受重视，尤其是NOIP提高组初赛，已经考了10题，未来大概率还会反复考握手引理、度数计算、连通性等基础图论结论。

预测

基于近年考频激增的趋势，未来命题人可能会在提高组初赛里继续用握手引理作为送分题，或者稍微变形，比如给出部分顶点的度数，让你求总度数或边数。但只要记住‘总度数=2×边数’这个核心，这类题基本都能秒杀。

结论：总度数是边数的2倍，答案选C。