NOIP 普及组初赛 · NOIP 2018 普及组初赛试题 第 12 题

设含有 $10$ 个元素的集合的全部子集数为 $S$，其中由 $7$ 个元素组成的子集数为 $T$，则 $\dfrac{T}{S}$ 的值为（ ）。

看到子集总数和特定元素个数的子集数，立刻想到幂运算和组合数。总数是2的10次方，而C(10,7)算起来麻烦，利用组合数对称性C(10,7)=C(10,3)能秒出结果，最后约分就能锁定答案。

最容易栽跟头的就是死算C(10,7)，把10×9×8×7×6×5×4×3×2×1全乘一遍再除以7!，既慢又容易算错。还有别被2^10=1024这个数字带偏，有人记成1000或者2048，导致分母全错。最后分数约分时，120和1024都能被8整除，别约成15/128以外的假分数，比如120/1024直接当答案就掉坑里了。

这道题考查的是集合子集计数和组合数的基本运算，属于初赛送分但也爱挖坑的题型。

先说概念：一个含有n个元素的集合，每个元素都有“选”或“不选”两种状态，所以总子集数S就是2的n次方。而恰好由k个元素组成的子集数，就是组合数C(n,k)。这题n=10，k=7。

命题人挖坑点很明显：一是让你算2^10，很多人记不清是1024还是2048；二是让你算C(10,7)，手算太慢且易错，这里必须用组合数的对称性——C(n,k)=C(n,n-k)。选7个进去，等价于选3个不进去，所以C(10,7)=C(10,3)。

拿到题先想什么？先算总数S=2^10=1024。再算T，利用对称性把C(10,7)转化为C(10,3)，这样只需要算10×9×8再除以3×2×1，结果是120。最后算比值120/1024，分子分母同除以8，得到15/128。

避坑提醒：千万别硬算C(10,7)，也别把2^10记错。分数一定要约到最简，15/128是最简形式，对应选项B。

从考频和趋势看，组合数对称性在NOIP初赛近五年出现频率稳定，属于高频考点。虽然本题未标注具体知识点，但这类“子集总数+特定大小子集数”的考法在历届真题中反复出现，说明命题人很看重学生对组合数性质的熟练度。未来预测：大概率会继续以单选题形式考察C(n,k)的对称性简化计算，或者结合概率问“随机选一个子集恰好有k个元素的概率”，本质还是这个公式的变形。暂无足够依据预测具体年份或题型变种，但掌握对称性这一招，这类题基本稳拿分。