NOIP 普及组初赛 · NOIP 2017 普及组初赛试题 第 9 题

甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）种。

别被人数吓到，直接看每人的选法。甲选2门是C(4,2)，乙丙各选3门是C(4,3)。三人选课互不干扰，直接用乘法原理把三个数乘起来就是答案。

最容易掉进两个坑：一是把题目当成‘每门课只能被一个人选’，那样就得用排列组合去排课表，完全跑偏；二是算C(4,3)时死磕4×3×2，忘了它等于4，或者误以为C(4,3)等于3，导致最后乘出来变成36或48这种选项。还有少数同学会混淆加法原理和乘法原理，觉得三人是‘或’的关系去相加，其实选课是‘且’的关系，必须相乘。

这道题考查的是组合数的计算以及乘法原理的应用，属于初赛高频的基础题型。

一、概念与命题视角 题目给了4门课，甲选2门，乙选3门，丙选3门。命题人挖的第一个坑就是‘独立性’——甲选了哪两门，完全不影响乙去选哪三门，乙也不影响丙。既然彼此独立，求总方案数，就是把每个人的选法数乘起来（乘法原理）。第二个坑是组合数C(4,3)的计算，很多学生在这里卡壳，硬算分子分母或者记错公式，导致算出错误的中间值。

二、思考心法 拿到题先别急着列式，脑子里过一遍： 1. 甲从4门里挑2门，有多少种？ 2. 乙从4门里挑3门，有多少种？ 3. 丙从4门里挑3门，有多少种？ 4. 最后把这三个数乘起来。

三、逐步计算

• 甲：C(4,2) = (4×3)/(2×1) = 6 种。
• 乙：C(4,3) = (4×3×2)/(3×2×1) = 4 种。这里有个小技巧，C(4,3)其实等于C(4,1)，从4门里选3门不选的那门只有4种可能，所以直接就是4。
• 丙：和乙一样，也是4种。

四、避坑与选项分析

• 选项A（36）：可能是把C(4,3)算成了3，或者误以为三人选课是互斥的，用加法去凑。
• 选项B（48）：可能是只算了甲×乙，忘了丙，或者把C(4,3)算错成2。
• 选项D（192）：可能是把乘法做成了加法，或者多乘了一倍（比如把C(4,2)算成12）。

正确答案是C：6 × 4 × 4 = 96。

五、考频与趋势 根据历年NOIP普及组初赛数据，组合数C(n,m)的计算（尤其是C(4,3)、C(5,2)这类小数字）是必考项，近5年每年至少出现一次。乘法原理也是高频考点，通常和组合数捆绑出现。这类题难度极低，但错选率不低，往往因为学生没看清‘独立’二字，或者算错组合数。

六、预测 未来几年，命题人大概率会继续用‘小数字组合+乘法原理’的组合来挖坑，可能换成人物名字、课程名称，但核心逻辑不变。只要记住C(n,m)的公式和乘法原理，这类题就是送分题。