NOIP 普及组初赛 · NOIP 2017 普及组初赛试题 第 22 题

如下图所示，共有 $13$ 个格子。对任何一个格子进行一次操作，会使得它自己以及与它上下左右相邻的格子中的数字改变（由 $1$ 变 $0$，或由 $0$ 变 $1$）。现在要使得所有的格子中的数字都变为 $0$，至少需要_________次操作。 

13个格子排成十字形。操作一个格子会翻转它自己和相邻格子的数字（0↔1）。要所有格子变成0。这是熄灯问题(Lights Out)的变体。最少3次操作。枚举中心区域的模式。

⚠️ 这种题靠手算很吃经验。思路：(1)每个格子最多操作1次（操作2次=没操作）；(2)从角落或特殊位置开始推。操作顺序不影响结果。解法：尝试选择几个关键格子，推导必须操作哪些格才能全变0。

题目分析

13个格子排成十字形。操作一个格子：它自己和上下左右相邻的格子数字翻转（1变0，0变1）。目标：全变0。

这是经典的"熄灯问题"。

关键性质

1. 操作两次 = 没操作（翻转两次回到原值） 2. 每个格子最多被操作 0次或1次 3. 操作顺序不影响最终结果