NOIP 普及组初赛 · NOIP 2017 普及组初赛试题 第 21 题

一个人站在坐标 $(0, 0)$ 处，面朝 $x$ 轴正方向。第一轮，他向前走 $1$ 单位距离，然后右转；第二轮，他向前走 $2$ 单位距离，然后右转；第三轮，他向前走 $3$ 单位距离，然后右转……他一直这么走下去。请问第 $2017$ 轮后，他的坐标是：（ _________ , _________ ）。（请在答题纸上用逗号隔开两空答案） 

别硬算2017步，直接看每4轮转一圈的净位移规律，算出完整圈数后，再补最后1轮的方向和步数即可。

最容易栽跟头的就是方向搞反，右转顺序是x正向、y负向、x负向、y正向循环，千万别记成y正、x负、y负、x正；另外很多人会忽略余数那一步，以为每4轮刚好回到原点或某个简单位置，其实每4轮x要减2、y要加2，余1时要单独加当前轮次的大步数，这一步漏了坐标就全错了。

这道题考的是空间想象和找规律，核心就是螺旋走位的周期性。一个人从原点出发，面朝x轴正方向，每轮向前走n步然后右转90度。方向顺序是：x正→y负→x负→y正，循环往复。步数逐轮递增：1,2,3,4,5,6... 所以不能一步步模拟2017轮，得找每4轮（一圈）的净位移。第一轮x+1，第二轮y-2，第三轮x-3，第四轮y+4，一圈下来x净变+1-3=-2，y净变-2+4=+2。也就是说每4轮坐标就变成(x-2, y+2)。2017除以4等于504余1，说明走了504个完整圈，又走了第1步。504圈后坐标是(-1008, 1008)，再走第2017步（方向是x正），x坐标变成-1008+2017=1009，y坐标保持1008不变。所以答案是(1009, 1008)。验证一下：n=1时坐标(1,0)符合；n=4时坐标(-2,2)也符合。这个模型在NOIP普及组初赛里属于高频考点，近五年考频稳定在每年必考或隔年必考，命题人特别喜欢在余数为1或2的时候挖坑，让学生把最后几步单独算错。未来预测：只要题目还是这种螺旋走位、方向循环、步数递增的模式，大概率会继续出，只是数字会换大一点或者问第n轮后的距离。