NOIP 普及组初赛 · NOIP 2017 普及组初赛试题 第 19 题

一家四口人，至少两个人生日属于同一月份的概率是（ ）（假定每个人生日属于每个月份的概率相同且不同人之间相互独立）。

这题考概率里的补集思想。直接算‘至少两人生日同月’太绕，不如算反的‘四人生生日全在不同月’，再用1减去，马上出答案。

最容易把‘至少两个同月’理解成‘恰好两个同月’，漏掉三人生同月、四人生同月、两对同月这些情况，导致分母分子对不上。还有人会试图枚举所有同月组合，算起来又慢又容易错。记住口诀：‘至少’类问题，优先用1减‘全部都不’的概率，这是最稳妥的路。

这道题考查的是概率计算中的补集思想，也就是常说的‘正难则反’。题目问一家四口至少两人生日同月的概率，直接去算它包含的所有情况（两人生同月、三人生同月、四人生同月、两对同月等等）非常繁琐，容易漏算或算错。所以命题人喜欢在这里挖坑，看学生是否懂得转换思路。

我们的思考心法应该是：拿到‘至少’这种字眼，第一时间反应出它的反面是‘全部都不’。这道题的反面就是‘四人的生日月份全部互不相同’。算出这个概率后，用1减去，就是答案。这样做不仅计算量小，而且逻辑清晰，几乎不会出错。

具体怎么算呢？假定每个月份概率相同且相互独立，第一个人随便选哪个月都行，概率是12/12。第二个人要想和第一个人不同，只能从剩下的11个月里选，概率是11/12。第三个人要和前两人不同，只能从剩下的10个月里选，概率是10/12。第四个人要和前三人不同，只能从剩下的9个月里选，概率是9/12。根据乘法原理，四人生日全在不同月的概率就是：

P(全部不同) = 1 × 11/12 × 10/12 × 9/12 = 990 / 1728 = 55/96。

那么，至少两人生日同月的概率就是：

P(至少两人生同月) = 1 − 55/96 = 41/96。

这就是正确答案C。

避坑方面，一定要警惕‘恰好两个同月’这个陷阱。很多同学看到‘至少两个’，下意识只算两人生同月的情况，结果把三人生同月、四人生同月、两对同月这些情况全部漏了，导致答案远小于41/96，甚至可能误选B或D。另外，计算时也容易把分母搞错，比如写成12^3或12^2，这里要注意是四个人，所以分母是12^4 = 20736，分子是12×11×10×9 = 11880，化简后才是55/96。

从考频和趋势来看，这类‘至少一个/一对/一次’用补集求解的概率题在NOIP普及组初赛里是高频考点，几乎每年都会以不同形式出现。比如经典的生日悖论：23个人中至少两人生日同天的概率超过50%，也是同样的思路。命题人喜欢用这种反直觉的结论来考察学生的思维灵活性，而不是死记硬背公式。

预测未来，这类题目大概率还会继续考，只是场景会换一换，比如换成‘至少两人生日同星期几’或者‘至少两人属相相同’，核心都是‘至少’用补集。暂无足够依据预测具体年份的变化，但可以肯定的是，掌握补集思想是应对这类概率题的必杀技。