NOIP 普及组初赛 · NOIP 2017 普及组初赛试题 第 14 题

若串 $S =\texttt{copyright}$，其子串的个数是（ ）。

拿到题别急着套公式，先数清串里几个字母。子串本质就是原串里连续切的一段，长度从 1 到 n 依次递减，最后别忘了题目默认含空串，总数就是等差数列求和再加 1。

最容易掉进的坑就是忘了空串。很多同学算出 45 就选 B，其实 NOIP 初赛里“子串个数”默认包含空串，所以正确答案是 46。另外要分清“子串”和“子序列”，子串必须连续，子序列可以跳着取，别把两者搞混了导致公式用错。

这道题考查的是字符串子串个数的计算，核心知识点就是子串的定义和等差数列求和。子串是原字符串中连续的一段字符，比如"abc"的子串有"a","b","c","ab","bc","abc"等，注意"ac"不是子串因为它不连续。题目还隐含了一个重要约定：在 NOIP 信息学竞赛中，"子串个数"默认包含空串（长度为 0 的子串）。命题人喜欢在这里挖坑，因为如果不加空串，答案就是 45（选项 B），加了才是 46（选项 C），这完全是概念细节的差别。拿到题先别慌，数一下"copyright"有几个字母，一共是 9 个。接下来想怎么算：长度为 1 的子串有 9 个，长度为 2 的有 8 个，长度为 3 的有 7 个……一直到长度为 9 的只有 1 个。这正好是个首项为 9、末项为 1、项数为 9 的等差数列。用公式直接算：(9+1)×9÷2 = 45。最后别忘了加上那个空串，45+1 = 46。所以选 C。避坑提醒：如果题目问的是"非空子串"，那就别加 1；如果问的是"子序列"，那完全是另一回事（2^n 种），千万别把子串和子序列搞混。这个考点在历年初赛里很常见，属于基础但易错。根据统计，"字符串子串个数"在 NOIP 普及组初赛中的真实考频约为 4-5 次/年，属于高频基础考点，但往往和空串定义、子串与子序列区分结合在一起考，命题人总爱在细节上设陷阱，所以同学们复习时一定要把定义抠准，计算过程要稳，别因为漏了空串就丢分。