NOIP 普及组初赛 · NOIP 2016 普及组初赛试题 第 21 题

从一个 $4 \times 4$ 的棋盘（不可旋转）中选取不在同一行也不在同一列上的两个方格，共有_______种方法。

这题核心就是组合计数。先想：第一格随便放有16种，第二格必须避开第一格所在的整行和整列。算出有序对数量后，再除以2去重，因为选A再选B和选B再选A是同一种取法。

最容易踩的两个坑：一是把“不在同行同列”理解成“只要不同行就行”或“只要不同列就行”，忘了行列都要避开；二是完全忽略顺序重复，直接算16×9=144，忘了组合是无序的，应该除以2。另外，有些同学会纠结棋盘能不能旋转，其实题干明确说了“不可旋转”，而且问的是“选取方法”而非“形状”，所以四个角不等价也不影响计数，别被这个条件带偏去算等价类。

考点与命题视角

这道题考查的是组合计数中的有序对转无序对以及排除法（去重）。命题人喜欢在这种基础几何背景里挖“顺序陷阱”：明明选两个格子，学生容易下意识按“先选后选”的顺序去乘，却忘了组合里（A,B）和（B,A）是同一个结果。此外，题目特意强调棋盘“不可旋转”，其实是个干扰项，目的是测试学生是否能准确抓取“选取方法”这一核心，而不是去算旋转等价类。

人话讲概念

• 组合：从一堆东西里挑几个，不在乎顺序。比如从16个格子里挑2个，就是C(16,2)。
• 有序对：先选A再选B，和先选B再选A，算两种不同的过程。乘法原理算出来的总数其实是有序对的个数。
• 排除同行同列：选定第一个格子后，它所在的行有4个格子，所在的列也有4个格子，但第一个格子本身既在行也在列，被算了两次，所以要去掉的格子数是4+4−1=7，剩下16−7=9个可选。