NOIP 普及组初赛 · NOIP 2016 普及组初赛试题 第 16 题

有 $7$ 个一模一样的苹果，放到 $3$ 个一样的盘子中，一共有（）种放法。

这题考的是‘苹果一样、盘子也一样’的整数划分。拿到题先别想隔板，直接按‘每盘几个’从大到小枚举，保证序列非递增就能不漏不重。

最容易错在用隔板法或把盘子当不同去算，那样会多出很多重复方案；还有人只想到(7,0,0)到(4,2,1)就停住，漏了(5,1,1)、(3,3,1)、(3,2,2)这几类，导致选错成7或21。记住核心：物品相同且容器相同，只关心分成的份数组合，不是排列。

问题本质

7个一模一样的苹果，3个一模一样的盘子，允许空盘。

因为苹果和盘子都‘一样’，我们只关心‘每个盘子分几个’，不关心‘哪个盘子’。这等价于：把7拆成最多3个非负整数之和，且顺序无关。

概念：整数划分（无序版）

数学上这叫‘n的划分数’，但这里限制‘最多m份’。枚举时只要保持序列非递增（从大到小），就能自然避免重复，也不会漏掉任何情况。