NOIP 普及组初赛 · NOIP 2015 普及组初赛试题 第 21 题

重新排列 $1234$ 使得每一个数字都不在原来的位置上，一共有__种排法。

这题就是考全错位排列（错排），拿到题别慌，直接套用公式 D(n)=n!×(1/0!−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!)，算出 D(4) 就是答案。

学生最容易把错排当成普通排列，顺手写 4!=24 或者只想到 D(3)=2 就猜 D(4) 也差不多是 2 或 3，完全没意识到 D(4) 会跳到 9。另外有人会把公式里的符号搞反，把减号写成加号，导致算出来是 15 或 21 这种离谱数字。记住：错排的核心是‘每个都不能在原位’，不是‘至少一个不在原位’，也不是‘全部都不在’的普通排列。

全错位排列（Derangement）

这道题考的是全错位排列，也叫错排。简单说，就是把 1234 重新排，让每个数字都不在自己原来的位置上。这不是普通的全排列（4!=24），也不是‘至少一个不在原位’，而是全部都不在。

概念：什么是错排？

错排公式是： D(n) = n! × (1/0! − 1/1! + 1/2! − 1/3! + … + (−1)^n / n!)

对 n=4： D(4) = 24 × (1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24) = 24 × (9/24) = 9

• 答案：9

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