NOIP 普及组初赛 · NOIP 2013 普及组初赛试题 第 21 题

$7$ 个同学围坐一圈，要选 $2$ 个不相邻的作为代表，有_________种不同的选法。

这题核心就是'总数减相邻'，但圈和线不一样，圈里首尾也算相邻，所以相邻对直接等于人数7，先算C(7,2)再减7。

最容易错就是把圈当成线，以为相邻只有6对，或者忘了首尾相连，导致答案变成21-6=15。还有人会想用排列去算，其实选代表是组合问题，顺序不重要。记住圈里相邻对数就是n。

这道题考查的是组合计数里的'总数减相邻'思想，同时特别强调'围圈'和'直线'的区别。命题人爱在这种细节上挖坑，比如把圈当成线，或者多算少算相邻对，甚至用排列去算组合题。

拿到题先想什么？总数是多少？7个人里选2个，不管位置，就是C(7,2)=21种。接下来要挖掉相邻的。直线7个点相邻对是6对，但围一圈后，第7个和第1个也相邻了，所以相邻对直接等于人数7。这样不相邻就是21-7=14。

思考心法：先算所有选法，再减去不符合条件的。计算很简单，C(7,2)=21，相邻=7，结果14。避坑点：别把圈当成线，别用排列，别漏掉首尾相邻。考频上，这种'围圈选不相邻'是组合题里的经典模型，近几年NOIP初赛里这类题每年都有，难度适中，但陷阱明显。趋势看，命题人会继续用这种'总数减特殊'的方式考组合，可能会换人数、换不相邻条件（比如不相邻且不相邻于某点）来增加变化，但核心思路不变。暂无足够依据预测未来具体怎么变，但掌握'圈相邻=n'这个结论就稳了。