NOIP 普及组初赛 · NOIP 2012 普及组初赛试题 第 21 题

如果平面上任取 $n$ 个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在两个点，它们连线的中点也是整点，那么 $n$ 至少是__________。

这题考抽屉原理，核心是把整点按坐标奇偶性分4类，5个点必有两个同类，中点才是整点。

很多学生会想当然认为取4个点就够了，或者只考虑x坐标奇偶性忘了y坐标，导致误以为n=3或4。其实整点坐标(x,y)的奇偶组合有4种：(偶,偶)、(偶,奇)、(奇,偶)、(奇,奇)。只有两个点奇偶性完全相同，它们横纵坐标之和才是偶数，中点才可能是整点。所以必须取5个点才能保证至少有两个点落入同一类抽屉。

抽屉原理与奇偶分类

整点(x,y)的奇偶性只有4种可能：(偶,偶)、(偶,奇)、(奇,偶)、(奇,奇)。两个点连线的中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)，要让它仍是整点，必须x₁+x₂和y₁+y₂都是偶数，这意味着x₁与x₂同奇偶，y₁与y₂同奇偶——即两点必须属于同一类奇偶组合。

命题人怎么挖坑

这道题表面简单，实则考察对“抽屉”构造的精确理解。命题人喜欢让学生只盯着x坐标，误以为3个点就能保证两个x同奇偶（其实x只有2种奇偶，3个点必有两个x同奇偶，但它们的y可能不同奇偶，中点就不一定是整点了）。更隐蔽的坑是认为4个点就够了，因为4=4，似乎刚好覆盖所有情况，但抽屉原理说的是“至少有一个抽屉里有两个或更多”，4个点可能每个抽屉各一个，中点未必是整点。只有5个点，根据抽屉原理，必有两个点落入同一类奇偶组合。