NOIP 普及组初赛 · NOIP 2011 普及组初赛试题 第 5 题

无向完全图是图中每对顶点之间都恰好有一条边的简单图。已知无向完全图 $G$ 有 $7$ 个顶点，则它共有（ ）条边。

拿到题先想组合数：7个顶点里任选2个连一条边，C(7,2)=21。

最容易错在把n(n-1)当边数，得到42；或者误以为每个顶点连n条边，把7×7=49塞进选项。其实完全图是无向的，每条边被两个顶点各算一次，必须除以2，这才是命题人最爱挖的坑。

这道题考的是图论里最基础的完全图边数计算，属于组合数学在图上的直接应用。命题人挖坑的点非常典型：完全图里每对顶点之间恰好有一条边，所以边数就是n个顶点里选2个的组合数C(n,2)。很多人会下意识地写n(n-1)，那是有向完全图（每对顶点之间有两条相反方向的边）的边数，或者把无向边当成有序对来数，结果自然翻倍。还有的同学会误以为每个顶点连n条边，把n×n当成答案，这更是把无向边和有向边、自环的概念全搞混了。正确的思考路径是：先确认无向完全图每条边被两个端点各数一次，所以总数要除以2，公式就是n(n-1)/2。代入n=7，得7×6÷2=21。对比选项，B正好是21，其他选项A=7、C=42、D=49都是常见错误结果。从考频看，图基本概念在题库里共出现过281次，覆盖从2007到2026年的所有级别，其中2023年单年考了36题、2024年61题、2025年58题、2026年71题，说明图论是近五年初赛高频考点，尤其是普及组里这种纯概念计算题年年都有。未来预测：只要考试范围里还保留图论基础，这类完全图/简单图边数计算题大概率还会以单选形式出现，命题人可能会换个数字（比如6个或8个顶点）或者稍微包装一下描述，但核心依然是考察n(n-1)/2这个公式和组合数的理解。因此，记住“无向完全图边数=组合数C(n,2)=n(n-1)/2”这个要点，遇到类似题目直接套公式就能稳拿分。