GESP 八级 · GESP 202606 C++ 八级 第 23 题

判断点 $(x,y)$ 是否在以原点为圆心、半径为 $r$ 的圆内或圆上时，可以比较 $x^2+y^2$ 与 $r^2$，不必先开平方。

判断正误题需注意绝对化表述（"一定""必须""只能"等）往往是错误的。

判断题中注意"一定""总是""所有""唯一"等绝对化表述通常是错误的。但也要结合具体知识点判断。

【考点】距离公式｜平方根单调性｜浮点误差控制

距离公式给出原点到点 $(x,y)$ 的距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$。因平方根函数在正数区间单调递增，且 $r\ge0$，故 $\sqrt{x^2+y^2}\le r\iff x^2+y^2\le r^2$。比较平方值可避免调用 sqrt 函数，既节省计算开销又规避浮点精度误差——这是坐标几何类题目的标准优化。

选 B 的陷阱在于混淆"比较对象"：命题人刻意将 $r^2$ 写在题干中，若考生只背"圆内条件为 $x^2+y^2\le r^2$"却不懂为何能比较平方，就会误以为必须开根号。更阴险的是，若圆心不在原点，比较式应改为 $(x-h)^2+(y-k)^2\le r^2$，此处未给出 $h,k$ 却只判 $x,y$，恰恰检验你是否真正理解"距离平方"的本质。

若题目改成比较 $x^2+y^2$ 与 $r$，答案必错——因为 $r$ 未平方；若改成比较 $\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $r$，虽正确但效率低。刷到此类题时，先问自己："命题人想考我距离公式的变形，还是想考我开根号的必要性？"