GESP 八级 · GESP 202606 C++ 八级 第 19 题

杨辉三角中的组合数满足 $C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-2,k)$。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】组合数定义｜杨辉三角递推关系｜下标错位陷阱

组合数 $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 的本质是"从 $n$ 个元素中取 $k$ 个的组合数"。在杨辉三角里，第 $n$ 行第 $k$ 个数 $C(n,k)$ 恰好等于其正上方两个数之和，即 $C(n-1,k-1)+C(n-1,k)$。命题给出的 $C(n-2,k)$ 是上一行的同列元素，与 $C(n,k)$ 不相邻，因此递推式不成立，答案选 B。

错误选项 A 的陷阱在于"下标错位"——命题人把标准递推中的 $C(n-1,k-1)$ 偷换成 $C(n-2,k)$，利用考生对行号与列号混用的惯性。若只背结论"杨辉三角的数等于上方两数之和"，就极易忽略列号必须减 1 这一约束，从而掉进这个坑。

若把 $C(n-2,k)$ 改回 $C(n-1,k-1)$，命题就变成真命题；若把 $C(n-1,k)$ 改成 $C(n-2,k-1)$，则同样为假。遇到此类题，先画个小三角形，标上 $n,k$ 位置，看相邻关系，比死记硬背更可靠。