GESP 八级 · GESP 202606 C++ 八级 第 1 题

从 $7$ 本不同的算法书和 $5$ 本不同的数学书中选出 $4$ 本，要求两类书都至少选 $1$ 本，共有（ ）种不同选法。

仔细审题，明确已知条件和所求目标，运用相关知识点逐项分析。

审题时注意题目要求（选正确还是选错误），避免因审题不清失分。涉及代码的题目要逐行分析变量变化。

【考点】组合计数｜补集法｜约束条件处理

GESP 八级组合数学模块重点考查有限制条件的计数问题，特别是"至少一类"这类经典约束。命题人专门设计此题卡住只会套 C(n,m) 公式的考生，检验是否理解"至少"与"恰好"的本质区别，以及如何在复杂约束下正确应用组合计数原理。

核心思路是"总组合数减去不满足条件的情况"。先算 C(12,4)=495，再减去全选算法书的 C(7,4)=35 和全选数学书的 C(5,4)=5，即 495-35-5=455。这类"至少一类"问题优先用补集法，比分类讨论更简洁，且不易遗漏。补集法是组合数学中的通法，适用于所有"至少一个"或"至多一个"的问题。

陷阱设计极其隐蔽：D选项 495 是总组合数，考生若忽略"两类都至少1本"就选它；C选项 465 可能是把 C(7,4)+C(5,4) 加进总组合数（重复计算），属于求和思维；A选项 420 则是只算 C(12,4)-C(7,4) 漏掉了全选数学书的情况。命题人利用"至少"与"恰好"的区别，以及求和与差集的混淆。如果你只背结论、不理解本质，就会掉进这个陷阱。

若题目改成"至少两本算法书"，答案变为 C(7,2)×C(5,2)=210；若要求"每类至多一本"，则只剩 C(7,1)×C(5,1)=35。刷到此类题时先问"限制条件改变后组合数如何变化"，是检验理解深度的试金石。这类题的变种通常涉及"至少n本"或"至多m本"，关键在于正确识别约束条件。