GESP 八级 · GESP 202509 C++ 八级 第 1 题

小杨想点一杯奶茶外卖，但还差 $5$ 元起送。于是，小杨决定点一些小料。可选的小料包括：珍珠 $1$ 元、椰果 $2$ 元、奶冻 $3$ 元、奶盖 $4$ 元。每种小料最多点 $1$ 份。请问共有多少种满足起送条件的点小料方案？（ ）。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

区分排列（考虑顺序，$P(n,m)$）和组合（不考虑顺序，$C(n,m)$）。注意特殊元素优先处理、正难则反等计数技巧。

【考点】容斥原理｜二进制枚举｜组合计数

考纲定位：本道真题锚定 GESP 八级"枚举与回溯"模块，核心卡点是容斥补集思维。命题人专攻考生"正向枚举易漏算"的弱点，要求逆向思考：先算总方案再减去不满足的。

解题思维：全量枚举四元素集合共 2^4=16 种，分别含珍珠(1)、椰果(2)、奶冻(3)、奶盖(4)。满足条件的补集为总价<5的方案：空集(0)1种、单元素{1,2,3,4}各1种、双元素{1,2}=3、{1,3}=4，合计7种。故答案为 16-7=9。

陷阱拆解：选项A(16)是忽略起送条件的陷阱，选项B(10)误将{1,2}与{1,3}重复计算，选项D(7)则是直接数了补集却忘了用总方案减。最阴险处在于"每种小料最多一份"，若考生误以为可重复选取，枚举树会爆炸。

反命题思维：若题目改成"至少5元且最多8元"，则需对每个区间分别计数，复杂度从 O(1) 升至 O(n)。刷到"组合计数"类题，先自问：命题人是否希望我构造补集？