GESP 八级 · GESP 202506 C++ 八级 第 19 题

$5$ 个相同的红球和 $4$ 个相同的蓝球排成一排，要求每个蓝球的两侧都必须至少有一个红球，则一共有 $15$ 种排列方案。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

区分排列（考虑顺序，$P(n,m)$）和组合（不考虑顺序，$C(n,m)$）。注意特殊元素优先处理、正难则反等计数技巧。

【考点】组合计数｜隔板法｜排列约束

1. 【考纲定位】本题考查《GESP 八级》组合模块中“有约束的排列计数”题型。命题人专挑“看似简单实则细节陷阱”的题，卡住考生对“隔板法”与“排列约束”的区别认知。

2. 【解题思维】5个红球排成一行产生6个空位（两端+中间），但“每个蓝球两侧必有红球”意味着蓝球不能放在两端，只能入中间4个空位。再结合“每个蓝球两侧至少一个红球”隐含蓝球不能相邻（否则中间蓝球一侧无红），故4个蓝球必须各占一个空位，方案数 = C(4,4) = 1。题干称15种，明显错误。

3. 【陷阱拆解】A选项“正确”是命题人利用考生惯性思维：把“5红4蓝排成一排”直接套用隔板法C(6,4)=15，却忽略了“两侧必有红球”对位置的双重限制（端位禁入+相邻禁入）。最阴险的细节是“两侧”二字——它把“相邻”和“端点”两个约束打包成一个条件，考生若只关注“两端不能有蓝球”就会漏掉“蓝球不能相邻”的隐含约束，从而误选A。

4. 【反命题思维】若把“两侧必有红球”改为“两端不能有蓝球”，则4个蓝球可重复入中间4空位，方案数为C(4+4-1,4)=35。刷到此类题先问：约束是“位置不可入”还是“相邻不可入”？命题人常把两个约束合并描述，考生需拆解出“端点禁入”与“相邻禁入”两个独立条件。