GESP 八级 · GESP 202412 C++ 八级 第 21 题

你有三种硬币，分别面值 2 元、5 元和 7 元，每种硬币都有足够多。买一本书需要 27 元，则有 8 种硬币组合（组合与顺序无关，“1 个 2 元+1 个 5 元+1 个 2 元”与“1 个 5 元+2 个 2 元”认为是同样的组合）可以正好付清，且不需要对方找钱。

排列组合问题：先判断是否考虑顺序（排列P vs 组合C），再确定是否允许重复。乘法原理分步，加法原理分类。

区分排列（考虑顺序，$P(n,m)$）和组合（不考虑顺序，$C(n,m)$）。注意特殊元素优先处理、正难则反等计数技巧。

【考点】不定方程求解｜组合计数｜枚举算法

🎯 考纲定位

本题考查"有限枚硬币凑固定金额"的组合计数问题，对应 GESP 八级大纲中递推与枚举模块。命题人专门把这道题放在八级，就是要卡住那些只会写暴力 DFS、不懂数学约束条件的考生——很多人会穷举所有排列而非组合，或者在解不定方程时漏掉边界情况。