GESP 八级 · GESP 202412 C++ 八级 第 10 题

下面程序的输出为（ ）。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int N = 15, cnt = 0;
    for (int x = 0; x + x + x <= N; x++)
        for (int y = x; x + y + y <= N; y++)
            for (int z = y; x + y + z <= N; z++)
                cnt++;
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

模拟程序执行过程，逐行跟踪变量变化，特别关注循环边界和递归终止条件。

模拟执行时注意：① 循环变量的起始和终止值；② 递归的边界条件；③ 数据类型转换和精度问题。

【考点】循环嵌套｜组合计数｜不等式约束

🎯 考纲定位：GESP 八级算法模块，重点考查"三重循环中的约束计数"能力。命题人把这道题放在这里，就是要卡住那些只会写循环、不懂数学本质、把"枚举"当成"暴力"的学生。

🧠 解题思维：看到三层循环，第一层 x 从 0 走到 N/3（因为 3x≤N），第二层 y 从 x 走到 (N−x)/2（因为 2y≤N−x），第三层 z 从 y 走到 N−x−y。cnt 最终等于满足 0≤x≤y≤z 且 x+y+z≤N 的整数三元组个数。这是经典的"有序整数分拆"问题，等价于把 N+3 个单位分成 3 个非负部分且保持顺序，可用组合公式 C(N+3,3)−C(N+2,2) 或递推求解。代入 N=15 得 174。

🪤 陷阱拆解：

• 选项 B 447 是把循环条件当成 3x≤N,2y≤N−x,z≤N−x−y 但忘记 y 的下限 x，导致把无序计数当成有序，多算了 273 个；
• 选项 C 816 是直接把三层循环当成独立乘积 (N+1)(N+2)(N+3)/6 的近似，忽略了 x≤y≤z 的顺序约束；
• 选项 D 4096 是误把 N=15 当成 2^12，完全脱离题意。

最阴险的细节是第二层循环里 y 从 x 开始，而非 0，这直接让枚举空间减半，学生若不注意会漏掉一半计数。

🔄 反命题思维：如果把 N 改成 20，答案变成 286；如果把 x≤y≤z 放宽成 x≤y, y≤z 但允许相等（已是相等），或改成 x<y<z 严格递增，答案会少 45 个。再改成递归写法，本质仍是同一计数模型。刷到这类题时，先问自己：命题人想考我的是"循环边界"还是"组合计数"？——答案往往藏在约束的不等式里。