GESP 八级 · GESP 202403 C++ 八级 第 25 题

给定 double 类型的变量 x，且其值大于等于 1，我们可以通过二分法求出 $\log x$ 的近似值。

判断正误题需注意绝对化表述（"一定""必须""只能"等）往往是错误的。

判断题中注意"一定""总是""所有""唯一"等绝对化表述通常是错误的。但也要结合具体知识点判断。

【考点】二分法｜单调函数零点｜浮点运算

🎯 考纲定位（考点定位） GESP 八级算法模块明确要求掌握二分法，但命题人刻意将"二分查找"从整数区间扩展到连续函数域。这道题卡住的是"算法边界"认知——多数考生只记得二分法用于有序数组，却忽略了它本质是寻找单调函数零点的通用工具。

🧠 解题思维（拆解与通法） 关键观察：$\log x$ 是方程 $e^y = x$ 的解。由于 $e^y$ 严格单调递增，二分法可求其零点。 设定下界 $L=0$（因 $x\ge1$ 时 $\log x\ge0$），上界 $R=\max(1.0,x)$（保证 $e^R\ge x$）。 循环条件为 $R-L>\epsilon$，每次取中点 $mid=(L+R)/2$：若 $e^{mid}<x$ 则 $L=mid$，否则 $R=mid$。 收敛后 $L$ 即为 $\log x$ 的近似值。这是"二分法求函数零点"的通法。

🪤 陷阱拆解（命题人的套路） 错误选项 B 利用"二分法仅用于数组"的思维定势，但命题人将二分推广到连续函数域。 最阴险的细节是上界设定：若写 $R=x$ 会因 $e^x$ 溢出导致错误，必须用 $R=\max(1.0,x)$ 确保 $e^R\ge x$。 若只背"二分查整数"结论，就会忽略 $e^y$ 的单调性，误以为 $\log$ 无法二分。

🔄 反命题思维（教练升华） 若将条件改为"$x<1$"，下界需调整为 $L=-\max(1.0,-\log x)$，否则 $