GESP 八级 · GESP 202403 C++ 八级 第 14 题

下面程序的输出为（ ）。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int cnt = 0;
    for (int x = 0; x <= 10; x++)
        for (int y = 0; y <= 10; y++)
            for (int z = 0; z <= 10; z++)
                if (x + y + z == 15)
                    cnt++;
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

模拟程序执行过程，逐行跟踪变量变化，特别关注循环边界和递归终止条件。

模拟执行时注意：① 循环变量的起始和终止值；② 递归的边界条件；③ 数据类型转换和精度问题。

【考点】枚举与组合计数｜对称性分析｜边界条件

考纲定位：GESP 八级“组合计数与枚举”模块，命题人卡住只会暴力枚举的考生。三重循环 11³=1331 次迭代，但答案要求精确计数，暴力可行却易忽略细节，这正是八级想考察的“在有限枚举中精准定位关键状态”的能力。八级不再满足于简单模拟，而是要求对状态空间有整体把握。

解题思维：利用对称性简化计算。x+y+z=15 且 0≤x,y,z≤10。先考虑无上限约束的非负整数解个数 = C(17,2)=136。再减去至少一个变量≥11 的情况：每个变量超限的解数 = C(4+2,2)=15，三个变量都可能超限且无重叠，故 136-3×15=91。若用容斥原理会更清晰：总解数 136，减去单个超限 3×15=45，加上双重超限 0（因为两个≥11 则和≥22>15），减去三重超限 0，得 91。对称性分析是处理多重循环计数的通用手法，任何类似的三重循环问题都可以先求全解再剔除越界。

陷阱拆解：选项 A(90) 是忘了重叠或减错；C(96) 误把上限当作≤9；D(100) 直觉猜测。最阴险的是边界条件：x,y,z 上限是 10，不是 9，很多人会下意识以为“不能超过 10"就是“最大 10"，但枚举时容易误判，导致多算或少算。另外，三重循环中若写成 x<10 就少算一行，这是常见的 off-by-one 错误。若命题人把上限改成 9，答案会变成 96，这就是选项 C 的来源，说明 C 是