GESP 七级 · GESP 七级样题（C++ 组） 第 13 题

一个简单有向图有 20 个结点，假设图中已经存在 300 条边，请问增加多少条边可以成为完全图。（ ）

看到'有向图'和'完全图'先反应出公式 n(n-1)。算出总数 380，减去已有的 300 条，答案自然出来。

绝大多数学生会把无向完全图的公式 n(n-1)/2 套用到有向图上，算出 190 条，发现不够就选个接近的选项，或者误以为题目问的是无向图。还有学生会把 380 和 300 搞反，算成负数，或者把 380 看成 300 加 80 就以为答案是 80 条，忽略了题目问的是'增加多少'。

有向完全图的边数计算

考点与概念 这道题考查的是图论中最基础的有向完全图的定义和边数计算。所谓有向完全图，就是任意两个不同的结点之间，都有且仅有一条从 A 到 B 的有向边，同时也有一条从 B 到 A 的有向边。因为是有向的，所以不能像无向图那样只连一条线。

命题视角 命题人特别喜欢在这里挖坑。题目只给了'完全图'三个字，很多考生下意识地会背起无向完全图的公式 $n(n-1)/2$，直接套进去算。但题目开头明确说了是有向图，这就意味着每对结点之间要连两条方向相反的边。这个陷阱就是让你把有向和无向搞混，或者把公式里的除以 2 给忘了。

思考心法 拿到题先判断有向还是无向——题目开头明确是有向图，所以每对顶点之间要连两条相反方向的边。n 个顶点的有向完全图边数 = n × (n − 1)。本题 n=20，总边数 = 20 × 19 = 380。已有 300 条，还需 380 − 300 = 80 条。

避坑提醒 选项 A(77)、B(78)、C(79) 都是故意少算一条边，利用考生只记 n(n−1)÷2 的无向图公式，然后直接套用到有向图。题目里'已经存在 300 条边'是绝对化表述，不能假设这 300 条边已经分布均匀；有些边可能重复，有些可能缺失，但计算时只需知道总数即可。

考频趋势与预测 图形结构在题库中共考过 213 题，覆盖 6 个考试级别（2021-2026）；逐年分布：2021 年 1 题、2023 年 32 题、2024 年 61 题、2025 年 56 题、2026 年 40 题、null 年 23 题；分赛事：GESP 七级 78 题、GESP 八级 73 题、GESP 五级 31 题、GESP 六级 26 题、CSP 提高级 3 题、CSP 入门级 2 题。图的基本概念考过 281 题，覆盖 11 个考试级别（2007-2026）；逐年分布：2007 年 1 题、2008 年 2 题、2009 年 2 题、2010 年 2 题、2011 年 3 题、2013 年 3 题、2014 年 2 题、2015 年 2 题、2016 年 1 题、2017 年 3 题、2018 年 1 题、2019 年 2 题、2020 年 1 题、2021 年 4 题、2022 年 3 题、2023 年 36 题、2024 年 61 题、2025 年 58 题、2026 年 71 题、null 年 23 题；分赛事：GESP 八级 85 题、GESP 七级 85 题、GESP 五级 36 题、GESP 六级 27 题、CSP 提高级 13 题、NOIP 普及组 初赛 12 题、NOIP 提高组 初赛 10 题、CSP 入门级 7 题、GESP 三级 3 题、GESP 一级 2 题、GESP 二级 1 题。基于这些数据，图形结构和图的基本概念在近年（2023-2026）考频极高，尤其是 GESP 七级和八级，说明这类基础概念辨析题是高频考点，未来仍会持续出现，但形式可能会更隐蔽，比如结合其他性质（如度数、连通性）一起考。暂无足够依据预测具体年份的分布。