GESP 五级 · GESP 202509 C++ 五级 第 4 题

函数 isPerfectNumber 判断一个正整数是否为完全数（该数是否即等于它的真因子之和），则横线上应填写（ ）。一个正整数 $n$ 的真因子包括所有小于 $n$ 的正因子，如 $28$ 的真因子为 $1, 2, 4, 7, 14$。

bool isPerfectNumber(int n) {
    if(n <= 1) return false;
    int sum = 1;
    for(int i = 2; ______; i++) {
        if(n % i == 0) {
            sum += i;
            if(i != n/i) sum += n/i;
        }
    }
    return sum == n;
}

逻辑代数运算：与(∧/×)、或(∨/+)、非(┐/¬)。德摩根律：┐(A∧B)=┐A∨┐B，┐(A∨B)=┐A∧┐B。

注意德摩根律的正确应用：┐(A∧B)=┐A∨┐B，┐(A∨B)=┐A∧┐B。C++中逻辑运算符有短路求值特性。

【考点】循环结构优化｜完全数判定逻辑｜平方根遍历思想

🎯 考纲定位（考点定位） 五级函数题特意卡住对因子成对性的理解，循环边界条件写成 i*i <= n 是经典陷阱。命题人想考你：看到 sum += n/i 就立刻意识到只需遍历到 $\sqrt{n}$，这是五级对算法效率的考查。

🧠 解题思维（拆解与通法） 关键观察是 sum += n/i 暴露了因子成对性，只需遍历到 $\sqrt{n}$。用 i*i <= n 是整数域里最紧凑的写法，避免调用 sqrt() 函数，符合五级对算法效率的考查。

🪤 陷阱拆解（命题人的套路） 选 A 是暴力思维，选 C 会重复累加 $n/i$（如 $n=28$ 时 $i=14$ 已计入，$n/14=2$ 又加一次），选 D 只是把范围缩了一点点，但逻辑错误没变。题目里 i != n/i 这个判断是防止平方数重复，但循环边界必须配合它，否则前面已经多加了。

🔄 反命题思维（教练升华） 反命题视角：若把 sum 改成计数 cnt++，就是求因子个数，条件不变；若改成 return sum == 1 且初始 sum=0，就变成素数判断。刷到类似题先问自己：命题人想考我什么？是效率还是逻辑？