GESP 五级 · GESP 202403 C++ 五级 第 1 题

唯一分解定理描述的内容是（ ）？

质数判定：检查2到√n即可。筛法：埃氏筛O(n log log n)，线性筛O(n)。注意1既不是质数也不是合数。

1不是质数也不是合数。埃氏筛法标记时从i×i开始而非从2×i开始，因为小于i×i的倍数已经被更小的质数筛过。

【考点】唯一分解定理｜合数定义｜素数分解

🎯 考纲定位 五级数论模块核心定理。命题人卡住的是"唯一分解"四个字——考生往往背过"每个整数都能分解"，却忽略了定理的真正范围限定在合数。这是五级数论题里最基础的坑，后续 GCD/LCM、素数筛等算法全押在此定理上。

🧠 解题思维 看到"唯一分解定理"先定位到小学奥数定义：每个大于 1 的整数都能唯一写成素数乘积（不计顺序）。再读选项发现 A 说"任意整数"，B 说"每个合数"——立刻反应过来命题人在玩文字游戏。定理原文限定的是合数（因为 1 和素数本身无法分解），所以 B 才是精确复述，A 范围扩大了，C 直接反了唯一性，D 自然排除。

🪤 陷阱拆解

• A 项陷阱：用"任意整数"偷换概念，1 既不是素数也不是合数，根本不存在素数分解式。
• C 项陷阱：反着说"不同整数可分解为相同素数乘积"，这直接否定唯一性，命题人故意制造"看起来像定理推论"的假象。
• D 项陷阱：当你犹豫 A/B 时，D 就是收割摇摆考生的镰刀——其实只要抓住"合数"二字，B 就是唯一正确答案。

🔄 反命题思维 命题人考的就是你对定理边界的敏感。把题改成"每个大于 1 的整数都能唯一分解为素数乘积"就变成真命题了——这就是五级 GCD 题里判断互质、分解质因数等考点的根源。以后刷到数论选择题，先问自己："定理原文到底限定在什么范围？"