GESP 三级 · GESP202609 C++ 三级 第 15 题

三进制有个奇妙的应用，有 1000 个酒缸，恰好 1 缸有毒。毒酒喝下后 24 小时毒发死亡；无毒酒无影响。 总共有 48 小时，可以做两轮实验，每轮可以重新安排老鼠喝酒。有三种情况，这只老鼠两轮都不喝这缸酒；这只老 鼠第一轮喝这缸酒；这只老鼠第二轮喝这缸酒，要保证找出毒酒，最少需要多少只老鼠？（　　） A. B. C. D.

本题核心是利用两轮实验构建三进制编码。每只老鼠对某缸酒有三种状态：两轮都不喝、仅第一轮喝、仅第二轮喝，对应三进制的一位。m只老鼠能区分3^m种情况。要覆盖1000缸，需3^m≥1000。直接计算：3^6=729<1000，3^7=2187≥1000，故最少7只。通法是：n轮实验、k种状态（本题k=3），老鼠数m满足k^m≥N。

易错点有三：一是误用二进制思维，以为两轮只能区分2^m种，忽略老鼠可能两轮都不喝该缸酒的状态；二是状态计数错误，每只老鼠对单缸酒实际有3种状态（两轮都不喝、仅第一轮喝、仅第二轮喝），而非2种；三是边界条件混淆，题目要求"保证找出"，必须满足3^m≥1000，而非3^m>1000。选项A的5只对应3^5=243，连1000的十分之一都不到，明显不够。

1. 考纲定位

本题考查《GESP 考试大纲》三级"信息论基础"模块中的编码与状态计数。命题人放这道题，是卡住考生对"多轮实验"与"三进制"关系的理解——绝大多数人习惯用二进制思维（2^m），却忽略了老鼠可能两轮都不喝某缸酒的状态，导致低估所需老鼠数。

2. 解题思维

看到题先想：两轮实验，每只老鼠对单缸酒有三种状态（两轮都不喝、仅第一轮喝、仅第二轮喝）。m只老鼠能区分3^m种情况。要覆盖1000缸，需3^m≥1000。直接计算：3^6=729<1000，3^7=2187≥1000，故最少7只。通法是：n轮实验、k种状态（本题k=3），老鼠数m满足k^m≥N。