GESP 三级 · GESP 202309 C++ 三级 第 16 题

二进制数 $101.101$ 在十进制下是 $5.005$。

别光背口诀，这题核心是算位权。把二进制小数点拆开，整数部分按 2 的幂次加，小数部分按 2 的负幂次加，算出结果再和题干比对。

最容易栽跟头的是小数部分。题干里的 0.625 被故意写成了 0.005，这是利用视觉相似性设的陷阱。如果你只记得“二进制小数从 0.5 开始递减”，却不去具体算每一位的权重（0.5+0.125），就会误以为 101.101 等于 5.005，从而选错。

1. 考点与命题意图 本题考查二进制转十进制，重点在于小数部分的位权计算。命题人特意选了 $101.101_2$ 并给出错误答案 $5.005$，目的是考察你是否真正理解每一位的权重，而不是死记硬背。这种“假朋友”式的干扰项在进制转换题中很常见，必须警惕。

2. 拆解与计算 先把数按小数点分开：整数部分 $101$ 和小数部分 $.101$。

*整数部分*：$1\times2^2 + 0\times2^1 + 1\times2^0 = 4 + 0 + 1 = 5$。

*小数部分*：这是关键。二进制小数从右向左（即从小数点后第一位开始）的位权依次是 $2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}$，也就是 $0.5, 0.25, 0.125$。 对应到 $.101$： 第一位是 $1$，贡献 $1\times0.5 = 0.5$； 第二位是 $0$，贡献 $0\times0.25 = 0$； 第三位是 $1$，贡献 $1\times0.125 = 0.125$。 小数部分合计：$0.5 + 0.125 = 0.625$。

合并整数和小数：$5 + 0.625 = 5.625$。

3. 避坑指南 题干给出的 $5.005$ 是怎么来的？它把小数部分的 $0.625$ 错误地当成了 $0.005$。这通常是因为只记住了“二进制小数按 0.5, 0.25, 0.125 递减”的口诀，却忽略了具体数值的累加。如果你看到 $.101$ 就下意识觉得它“很小”或者跟 $.001$ 混淆，就会掉进这个坑。记住：必须逐位乘以对应的 $2^{-n}$ 再相加，不能凭感觉。

4. 考频趋势与预测 进制转换是 GESP 和 CSP 的常客。在题库中，"数据表示"类题目共 103 题，"进制与编码"类共 149 题，合计 252 题，覆盖从一级到八级、从入门到提高组的所有级别，年年都有。

从历年分布看：2023 年进制题考了 17 道，2024 年飙升至 29 道，2025 年回落至 17 道，2026 年又回升至 17 道。数据表示类题目在 2023 年考了 23 道，2024 年考了 30 道，2025 年考了 20 道，2026 年考了 10 道。

可见，2024 年是这两个考点的爆发年，之后 2025 年略有回调，2026 年又有所回升。这说明命题组对进制转换的考查强度是动态调整的，但从未断档。

基于此趋势，未来几年（2027 及以后）进制转换类题目大概率会保持中等偏上的考频，可能在 15-25 题之间波动。同时，干扰项的设计可能会更加隐蔽，比如出现更多类似本题的“假朋友”选项，或者结合浮点数精度问题出题。因此，复习时不仅要会算，更要学会识别那些看着像正确答案、实则位权算错的陷阱。