GESP 一级 · GESP 202409 C++ 一级 第 15 题

如果一个正整数 $N$ 能够表示为 $X \times (X+1)$ 的形式，这里称它是一个“兄弟数”。例如，输入 6，则输出“6 是一个兄弟数”。下面 C++ 代码用来判断 $N$ 是否为一个“兄弟数”，在横线处应填入的代码可从 i)-iv) 中选择，则有几个能完成功能？（ ）。

int N;
cin >> N;
for (int i = 0; i <= N; i++)
    if (__________________)
        cout << N << "是一个兄弟数\n";

i) N == i * (i + 1) ii) N == i * (i - 1) iii) N / (i + 1) == i iv) N / (i - 1) == i

答案B。先分析已有代码的功能，确定输出目标，再反推横线处需要的代码。可用代入法验证。

将每个选项代入横线处验证是最可靠的方法。注意代码的完整逻辑和输出格式。

【考点】循环遍历｜等式等价变形｜整数除法陷阱

🎯 考纲定位 考查核心是循环遍历与等式等价变形，命题人专门卡住只会硬套公式的学生：他们看到兄弟数定义 N=X(X+1) 就只想到直接乘法判断，完全忽略等式两边同时除以 (X+1) 得到的除法形式。这题选 2 个能完成功能的选项，i 和 iii 正确，ii 和 iv 错误。

🧠 解题思维 循环中的 i 就是假设的 X，要验证 N=X(X+1) 等价于验证 N/(X+1)=X 或 N=X(X+1)。通法是"双向等价"——乘法与除法互为逆运算，只在整数除法且能整除时成立，这里 i+1 恰好是除数且 i 是商，逻辑完美闭环。

🪤 陷阱拆解 ii 把 X+1 误写成 X-1，看似对称实则把原等式 N=X(X+1) 变成 N=X(X-1)，完全偏离定义；iv 同理，除数 i-1 与商 i 搭配后得到 N=i(i-1)，仍是错误等式。最阴险的是 iii 的整数除法陷阱：若 N 不是 (i+1) 的倍数，除法会截断，但循环里 i 从 0 到 N，当 i 恰好是满足 N=i(i+1) 的解时，N 必然能被 i+1 整除，所以 iii 不会出错——这恰恰是命题人想让学生通过"整除性"来验证等式成立。

🔄 反命题思维 把题改成"兄弟数定义为 N=X(X-1)"，则 ii 和 iv 正确，答案就变成 2 个了；若改成"判断 N 是否为 X(X+1) 的倍数"，则 iii 正确但 i 错误，因为 i 是等式而非倍数关系。刷到类似题先自问"命题人想考我什么"，是考等式还是考倍数，直接决定选 i 还是 iii。