CSP-S 提高级 · CSP 2025 提高级第一轮 第 12 题

在一个初始为空的最小堆（min-heap）中，依次插入元素 $20, 12, 15, 8, 10, 5$。然后连续执行两次“删除最小值”（delete-min）操作。请问此时堆顶元素是什么？

这道题考最小堆的插入上浮和删除下沉。拿到题先按顺序模拟插入，插完再删两次最小值，每次删完记得把新的堆顶下沉到合法位置，最后看堆顶是谁。

很多同学容易把下沉搞错方向，最小堆下沉时不是随便找个子节点换，而是要找两个子节点里较小那个去换，不然堆性质就破了。还有的同学在插入时忘了上浮，或者删除后没把末尾元素补到堆顶，导致堆结构乱套，最后算出的堆顶可能变成15甚至20，这都是因为中间步骤漏了或做反了。

考察知识点

数据结构 — 堆 (Heap)

概念定义

• 最小堆（Min-Heap）：完全二叉树，父节点的值 ≤ 子节点的值。堆顶为最小值。
• 插入：将新元素放在末尾，然后上浮（与父节点交换）直到满足堆性质。
• 删除最小值：将堆顶与最后一个元素交换，删除最后一个元素，然后新的堆顶下沉（与较小的子节点交换）。

逐步推导

依次插入：

1. 插入 20 → [20] 2. 插入 12 → [12, 20]（12 上浮） 3. 插入 15 → [12, 20, 15]（不动） 4. 插入 8 → [8, 12, 15, 20]（8 上浮两次） 5. 插入 10 → [8, 10, 15, 20, 12]（10 上浮一次） 6. 插入 5 → [5, 10, 8, 20, 12, 15]（5 上浮两次）

第一次 delete-min：

• 5 与 15 交换并删除 5 → [15, 10, 8, 20, 12]
• 15 下沉：与 8 交换 → [8, 10, 15, 20, 12]
• 15 再下沉：与 12 交换 → [8, 10, 12, 20, 15]

第二次 delete-min：

• 8 与 15 交换并删除 8 → [15, 10, 12, 20]
• 15 下沉：与 10 交换 → [10, 15, 12, 20]
• 15 不能再下沉（20 > 15）

堆顶元素为 10。

避坑指南

下沉时是比较较小的子节点并与之交换（确保交换后父节点 ≤ 两个子节点），不是任意一个子节点。

技巧总结

堆的模拟题是常考题型。插入 = 尾添 + 上浮。删除 = 顶尾交换 + 下沉。下沉时与较小子节点交换（最小堆）。

考频与趋势

堆在题库中共考过 21 题，覆盖 7 个考试级别。从历年分布看，2026 年考了 9 题，2025 年考了 3 题，2023 年考了 3 题，2021 年考了 1 题，2010 年考了 1 题，2007 年考了 1 题。在赛事分布上，CSP 提高级考了 7 题，CSP 入门级考了 6 题，NOIP 提高组初赛考了 2 题，GESP 各等级也均有涉及。数据表明堆是高频考点，且近年考频有上升趋势。

预测

基于 2026 年高达 9 题的考频和 CSP 提高级近年对基础数据结构的重视，预计未来两年堆相关题目仍会保持较高频率，可能继续以模拟操作或结合优先队列的应用题形式出现。暂无足够依据预测具体题型变化，但堆的基础操作（插入、删除、建堆）几乎必考。