CSP 模拟 · CSP 2020 第一轮（初赛）模拟 第 7 题

博艾中学进行了一次信息学会考测试，其优、良、及格、不及格的试卷数量分别为 $10,13,14,5$ 张。现在这些卷子混在一起，要将这些卷子按照等级分为 $4$ 叠。分卷子的方法是，每次将一叠有不同等级答卷的卷子分为两堆，使得这两堆中没有相同等级的卷子，然后可以再分，直到分为 $4$ 叠。要分完这些卷子，至少需要多少次“分卷子”的操作？将一堆数量为 $n$ 的卷子分成两堆，就会产生 $n$ 次分卷子的操作。

这题本质是二叉树叶子节点与内部节点的关系。4 叠对应 4 个叶子，每次分卷子相当于增加一个内部节点，所以总次数=叶子数 -1，直接套公式秒杀。

学生容易把‘分卷子’次数当成总和 42，或者误以为每次能把所有卷子平均分，导致凑不出 4 堆。其实只要保证两堆等级互斥，哪怕堆大小悬殊也能分，所以最小次数只跟最终堆数有关，跟初始数量无关。

这道题考查的是二叉树的基本性质：一棵有 n 个叶子节点的二叉树，其内部节点个数恰好为 n-1。题目中的‘分卷子’操作，就是把当前的一堆卷子（看作二叉树的一个节点）拆成两堆（产生两个子节点），这正对应二叉树中增加一个内部节点的过程。最终要得到 4 叠，也就是 4 个叶子节点，因此需要的内部节点数就是 4-1=3 次操作。这个结论与初始卷子总数 42 毫无关系，只要每堆里至少有两种不同等级，就能继续分下去；即使某堆只有一种等级，它也会成为叶子节点，不再参与后续分裂。命题人故意给出具体数字 10,13,14,5，就是想诱导学生去模拟分堆过程或计算总和，从而落入陷阱。思考心法：拿到题先别急着动手模拟，先抽象成树模型——4 个目标叶子，每次分裂增加一个内部节点，所以次数=叶子数 -1。避坑指南：别被大数字吓到，别尝试用贪心或动态规划去凑堆，那样只会越算越乱；也别误以为‘分卷子’次数等于卷子总数，那是完全错误的。考频与趋势：从历年 CSP 模拟和 GESP 真题来看，这类结合二叉树/树形结构性质的题目在 2020 年后出现频率明显上升，尤其在涉及‘分裂’‘合并’‘层级’等操作的场景，命题人偏爱用具体数字掩盖简单结论，让学生绕弯路。预测：未来这类题可能会换壳，比如改成‘合并堆’或‘平衡树’形式，但核心依然是叶子与内部节点的定量关系，只要抓住‘次数=叶子数 -1'这个公式，就能快速得分。