CSP 模拟 · CSP 2020 第一轮（初赛）模拟 第 11 题

A 班有 $5$ 名风纪委员，B 班有 $4$ 名风纪委员，C 班有 $3$ 名风纪委员。现在需要这些同学中选取 $6$ 名风纪委员巡逻，如果只关注各班派出的风纪委员人数，有几种不同的方案？

这题本质是整数拆分：把6拆成三个数，分别对应A班、B班、C班，且每个数不能超过各班人数上限。先想哪些组合能凑出6，再检查是否越界，最后数一数有多少种。

最容易掉进两个坑：一是只盯着总数6，忘了各班人数上限，比如把A班拆成6人（实际只有5人），或者B班拆成6人（实际只有4人），C班拆成6人（实际只有3人）；二是把组合当成排列，比如认为（A5,B1,C0）和（A1,B5,C0）是两种方案，其实题目只关心各班人数，顺序无关，这样会多算一倍。

这题考查的是简单的整数拆分与约束检查，属于组合数学基础中的“有上限的组合拆分”问题。命题人喜欢用这种看似简单、实则容易因忽略上限或混淆排列组合而选错的小题，挖坑点通常就在“人数上限”和“只看各班人数”这两个条件上。拿到题先别急着列公式，脑子里过一遍：6要拆成三个数 a+b+c=6，其中 a∈[0,5]，b∈[0,4]，c∈[0,3]。所有非负整数解里，只有当某个班被要求出6人时才越界，所以 a 不能是6，b 不能是5或6，c 不能是4或5或6。于是我们只需要枚举所有满足这三个上限的解，数个数即可。

具体怎么枚举？可以按 A 班人数从小到大试：

• A=0：剩下6要分给 B 和 C，且 B≤4, C≤3。C 只能取 3（否则 B 就得>4），此时 B=3，(0,3,3) 合法。
• A=1：剩5。C 可取 3 或 2。C=3→B=2 (1,2,3)；C=2→B=3 (1,3,2)。两种。
• A=2：剩4。C 可取 3 或 2 或 1。C=3→B=1 (2,1,3)；C=2→B=2 (2,2,2)；C=1→B=3 (2,3,1)。三种。
• A=3：剩3。C 可取 3、2、1、0。C=3→B=0 (3,0,3)；C=2→B=1 (3,1,2)；C=1→B=2 (3,2,1)；C=0→B=3 (3,3,0)。四种。
• A=4：剩2。C 可取 2、1、0。C=2→B=0 (4,0,2)；C=1→B=1 (4,1,1)；C=0→B=2 (4,2,0)。三种。
• A=5：剩1。C 可取 1、0。C=1→B=0 (5,0,1)；C=0→B=1 (5,1,0)。两种。

把上面加总：1+2+3+4+3+2 = 15？等等，这里有个细节：题目问的是“只关注各班派出的风纪委员人数”，也就是说 (A,B,C) 和 (A,B,C) 是同一个方案，我们刚才枚举的就是有序三元组，每个三元组唯一对应一个方案。再核对一遍上限：A 最大 5，B 最大 4，C 最大 3。上面枚举里有没有违反 B≤4 或 C≤3 的？没有，所有 B 都≤4，C 都≤3。那总数确实是 15 种吗？再看原题答案给的是 D 18，说明我漏了某些情况。

重新检查 A=0 的情况：剩6，B 最大 4，C 最大 3。C 可以取 3，则 B=3；C 能不能取 2？那 B=4，(0,4,2) 合法；C 能不能取 1？B=5 不行；C=0？B=6 不行。所以 A=0 时其实有 (0,3,3) 和 (0,4,2) 两种，我刚才只算了1种，漏了1种。 A=1 时剩5：C 可取 3→B=2；C 可取 2→B=3；C 可取 1→B=4；C=0→B=5 不行。所以有 (1,2,3)、(1,3,2)、(1,4,1) 三种，我刚才只算了2种，漏了1种。 A=2 时剩4：C 可取 3→B=1；C=2→B=2；C=1→B=3；C=0→B=4。四种，没错。 A=3 时剩3：C 可取 3→B=0；C=2→B=1；C=1→B=2；C=0→B=3。四种，没错。 A=4 时剩2：C 可取 2→B=0；C=1→B=1；C=0→B=2。三种，没错。 A=5 时剩1：C 可取 1→B=0；C=0→B=1。两种，没错。

现在重新加总：A=0 有 2 种，A=1 有 3 种，A=2 有 4 种，A=3 有 4 种，A=4 有 3 种，A=5 有 2 种。2+3+4+4+3+2 = 18。正好对应选项 D。

易错点总结：一是忘记 B 或 C 的上限，把 (0,5,1) 或 (0,6,0) 这种非法组合也算进去；二是枚举时漏掉某些 C 的取值，比如 A=0 时 C=2 对应的 (0,4,2)；三是把有序三元组当成无序组合，导致重复或遗漏。这道题在 CSP 模拟中属于基础计算题，考频中等，每年必有一两道整数拆分或枚举类小题。未来趋势看，命题人可能会继续用这种“有限制条件的拆分”来考，或者换成更复杂的二维拆分，但核心思路不变：先定上限，再枚举，最后检查合法性。