CSP-J 入门级 · CSP 2026 入门级第一轮 第 9 题

【单选】满足 1 ≤ n ≤ 100 且 gcd(n, 60) = 6 的正整数 n 共有多少个（ ）。

60 = 2²×3×5。要让 gcd(n,60)=6，可令 n = 6k，则要求 gcd(k,10)=1（即 k 既不含因子 2 也不含因子 5），再从 6k ≤ 100 即 k ≤ 16 里数。

直接数"6 的倍数"（16 个）而忘了还要与 60 的最大公约数恰好为 6；或把 k ≤ 16 误算成 k < 16 漏掉 k 范围的边界。

这道题在问什么

在 1 到 100 之间，有多少个整数 n，能使 n 和 60 的最大公约数恰好等于 6（不多也不少）？

逐个解释

• gcd(n, 60)：n 与 60 的最大公约数（greatest common divisor），能同时整除 n 和 60 的最大的数。
• gcd(n, 60) = 6：这个最大公约数恰好是 6——既要说 6 能同时整除 n 和 60，也要说 n、60 没有比 6 更大的公因数。
• 1 ≤ n ≤ 100：n 的取值范围是 1, 2, 3, …, 100。

怎样找这样的 n

因为 gcd(n, 60) = 6，说明两件事：

• 6 必须整除 n：所以 n 是 6 的倍数，写成 n = 6k；
• n 和 60 不能再有比 6 更大的公因数：把 60 写成 60 = 6 × 10，于是 gcd(n, 60) = gcd(6k, 6×10) = 6 · gcd(k, 10)。要让结果恰好是 6，就必须 gcd(k, 10) = 1（k 与 10 互质，即 k 既不是 2 的倍数、也不是 5 的倍数）。

条件于是等价于：n = 6k，k 与 10 互质，且 1 ≤ 6k ≤ 100。

由 6k ≤ 100 得 k ≤ 16（6×16 = 96，6×17 = 102 > 100），所以 k = 1, 2, …, 16。

在 1 到 16 中挑出与 10 互质的 k（去掉所有偶数，以及 5 的倍数 5、15）：

k = 1, 3, 7, 9, 11, 13 —— 共 6 个

再还原成 n = 6k：

n = 6, 18, 42, 54, 66, 78 —— 共 6 个

（验证：gcd(18,60)、gcd(42,60)、gcd(78,60) 都等于 6 ✓）

答案

满足条件的 n 是 6, 18, 42, 54, 66, 78，共 6 个，选 B。

其他选项为什么错

• A. 8：把 k = 5、15 也算进去了（那样 gcd = 30，n 含因子 5，不符合）；
• D. 5：漏掉 k = 13（n = 78），或把 k ≤ 16 误写成 k < 16；
• C. 4：漏得更多，通常漏掉 k = 11、13 这类较大的奇数。

记忆点

• 核心变形：gcd(a·m, b·m) = m · gcd(a, b)——把公因数 6 提出来后，问题就变成“剩下的部分是否互质”；
• “与 10 互质”等价于“末位是 1, 3, 7, 9”，在 1～16 里可以秒数；
• 通用套路：先定 n 必须含有的因子，再把剩余部分的互质条件转成排除法计数。