CSP-J 入门级 · CSP 2026 入门级第一轮 第 15 题

【单选】一个无向图有 10 个顶点，其中 4 个顶点的度为 3，其余顶点的度均为 4，则该图的边数是（ ）。

握手定理：所有顶点的度数之和等于边数的 2 倍。先按度数把总度数算出来，再除以 2。

忘记除以 2（得到 36，正好是错选 A）；或把"其余 6 个顶点度为 4"错算成 10 个顶点度都为 4。

解析

本题考查握手定理（度数之和 = 2 × 边数）。

握手定理

在任意无向图中：

Σ deg(v) = 2|E|

原因：每条边 (u, v) 会给 u 和 v 各贡献 1 度，因此按顶点累加度数时每条边被算了 2 次。

本题计算

• 4 个顶点的度为 3 → 贡献 4 × 3 = 12
• 剩余 10 − 4 = 6 个顶点的度为 4 → 贡献 6 × 4 = 24
• 总度数 = 12 + 24 = 36

边数 = 36 ÷ 2 = 18，选 B。

其他选项为什么错

• A. 36：把总度数直接当成边数，忘记除以 2（本题第一大陷阱）；
• C. 17、D. 20：顶点数或度数分配算错（如把 4 个度为 3 的顶点算成 3 个）。

拓展：奇偶性校验

握手定理还有一个重要推论：任意图中度数为奇数的顶点个数一定是偶数。本题中度数为 3（奇数）的顶点有 4 个，是偶数 ✓ 自洽。若题目给出"5 个顶点度为 3"，则该图根本不存在（这也是常见的"不存在性判定"考点）。

记忆点

• 无向图：Σdeg = 2E；有向图：Σ入度 = Σ出度 = E；
• 完全图 Kₙ 边数 = n(n−1)/2，每个顶点度 = n−1；
• 见到"给度数求边数"立刻想到除以 2。