CSP-J 入门级 · CSP 2025 入门级第一轮 第 5 题

在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，这个总和等于？

这题考的是有向图里入度、出度与边数的关系。拿到题先想：每条有向边究竟给哪个顶点的度贡献了多少？顺着这个逻辑，入度之和、出度之和自然就能对应到边数。

最容易把有向图和无向图搞混，记成‘度数之和等于2倍边数’，那是无向图的结论。有向图里，一条边(u,v)只让u的出度+1、v的入度+1，总入度或总出度都只增加1，而不是2。另外，别把‘入度之和’和‘入度+出度之和’弄反，后者才是2倍边数。

这道题考查的是图的基本概念——有向图的入度、出度与边数之间的数量关系。

先理清概念：在有向图G=(V,E)中，顶点v的入度(in-degree)是指向v的边的数量，出度(out-degree)是从v出发的边的数量。一条有向边(u,v)意味着从u指向v，它会让u的出度加1，同时让v的入度加1。

命题人特别喜欢在这里挖坑：把无向图和有向图的度数公式混在一起考。无向图里，每条边连接两个顶点，确实会让两个顶点的度数各加1，所以所有顶点度数之和等于2×边数；但有向图不同，一条边只贡献1个入度和1个出度，不会像无向图那样‘翻倍’。如果学生死记硬背‘度数之和=2倍边数’，就会误选C或D。

思考过程可以这样推： 1. 设图有m条边。每条边(u_i, v_i)对应一个出度贡献给u_i，一个入度贡献给v_i。 2. 把所有顶点的出度加起来，就是所有边的u_i部分，正好等于边数m。 3. 同理，把所有顶点的入度加起来，就是所有边的v_i部分，也正好等于边数m。 4. 因此，所有顶点的入度之和 = 所有顶点的出度之和 = 边数。

验证一下：画两个顶点A→B，只有1条边。A的出度是1，入度是0；B的出度是0，入度是1。入度之和=1，出度之和=1，边数=1，完全吻合。

再看考频趋势：题库里图的基本概念共考过281题，覆盖11个级别。其中2023年达到高峰36题，2024年61题，2025年58题，2026年71题，说明这类概念题在近年持续高频出现，且难度有小幅上升趋势。分赛事看，CSP入门级这类基础概念题占比约7题，属于入门必考。

未来预测：基于2025-2026年的数据，图论基础概念题仍将是高频考点，命题人可能会继续用‘入度=出度=边数’这类简单但易混淆的表述来区分学生是否真正理解有向图与无向图的差异。暂无足够依据预测具体会考到哪个变种，但可以肯定的是，只要掌握‘每条边贡献1个入度、1个出度’这个核心，这类题就不会丢分。