CSP-J 入门级 · CSP 2024 入门级第一轮 第 11 题

在无向图中，所有顶点的度数之和等于（ ）。

别被选项晃了眼，拿到题先想'边'和'点'的关系。无向图里每条边都连着两个点，所以算度数时，一条边会被数两次。记住这个'两次'，答案自然出来了。

最容易掉进的坑就是死记硬背'度数之和等于边数'，或者看到'两倍'就慌神。其实只要画个最简单的图——就一条边连着两个点，两个点度数都是1，加起来是2，正好是边数2的两倍。用这种特例去检验选项，比硬背公式快得多，也稳得多。

这道题考查的是图论中最基础也最核心的结论——握手引理，也就是所有顶点的度数之和与边数之间的关系。

先说清楚概念：在无向图中，一个顶点的度是指和它相连的边的数量。比如一个点连着3条边，它的度就是3。题目问的是所有顶点的度加起来等于什么。

命题人挖坑的地方就在"无向"和"度数定义"上。因为是无向图，一条边连接两个顶点，当你计算这条边对两个端点度数的贡献时，它同时给这两个点各加了1。也就是说，一条边在总度数里被算了两次。如果是有向图，一条边只从一个点出发，只算一次，那结论就不一样了。这里特意强调"无向"，就是为了让你留意这个"两次"。

思考过程其实很简单：拿到题，先别急着套公式，脑子里过一遍最简情况。画一条边，连着两个点，每个点度数是1，总度数是2，边数是1，2正好是1的两倍。再画一个三角形，三条边，每个点度数是2，总度数是6，边数是3，6还是3的两倍。这种特例法在选择题里特别管用，能迅速排除错误选项。

具体推导的话，设图有n个顶点，m条边。第i个顶点的度是deg(i)，所有顶点的度之和就是sum(deg(i))。因为每条边贡献2，所以sum(deg(i)) = 2m。这就是握手引理的数学表达。

来看选项：A说等于边数，那刚才的三角形例子就不成立了，6不等于3，排除；C和D扯到顶点数，度数之和跟顶点数没有固定的倍数关系，比如一个孤立点度数是0，顶点数是1，0不等于1的两倍，排除。只有B说"边数的两倍"，完全符合推导和特例验证。

这道题在题库里考得相当频繁。图形结构这一章总共考了213题，其中2024年就有61题，2025年56题，2026年40题，属于高频考点。图的基本概念更是重中之重，281题里2024年也是61题，2026年飙升到71题。分赛事看，GESP八级和七级各考了85题，说明这个知识点在分级考试中也是必考内容，尤其是入门级和普及组，经常用这种纯概念题来检验基础。

预测未来怎么考？从数据趋势看，2024年图形结构考了61题，2025年58题，2026年71题，虽然2026年有所回升，但整体波动不大，属于稳定高频考点。握手引理作为图论第一定理，几乎不可能完全消失，大概率会继续以单选题形式出现，或者稍微包装一下，比如改成"有向图中度数之和等于边数的几倍"来区分有无向，或者结合具体图的数据让你计算总度数。暂无足够依据预测全新题型，但基础概念题的稳定性很高，值得持续重视。