CSP-J 入门级 · CSP 2023 入门级第一轮 第 5 题

根节点的高度为 $1$，一棵拥有 $2023$个节点的三叉树高度至少为（）。

这题考三叉树节点数公式，拿到题先想‘满三叉树’每层最多放几个，用等比数列求和公式算高度 h 能装多少节点，然后找最小的 h 使节点数≥2023。

最容易把三叉树当二叉树算，套成 2^h-1，或者误以为每层节点数是 3^h 而不是 3^(h-1)，导致算出的高度偏小。还有个坑是题目根高度为 1，别按从 0 开始数层，算完高度后直接选答案，不用减 1。

考点与概念

这题考查三叉树节点数与高度的关系。树的高度定义为从根节点（高度为 1）到最深叶子节点的节点数。一棵高度为 h 的"满三叉树"，每一层的节点数构成等比数列：第 1 层 1 个，第 2 层 3 个，第 3 层 9 个……第 h 层 3^(h-1) 个。总节点数就是等比数列求和：

N(h) = 1 + 3 + 9 + … + 3^(h-1) = (3^h - 1) / (3 - 1) = (3^h - 1) / 2

命题视角

命题人喜欢挖两个坑：一是混淆三叉树与二叉树的节点数公式（二叉树是 2^h - 1），二是层数计数起点错误（题目明确根高度为 1，别按从 0 开始数）。这题就是让你用满三叉树公式反推高度。