CSP-J 入门级 · CSP 2019 入门级第一轮 第 11 题

新学期开学了，小胖想减肥，健身教练给小胖制定了两个训练方案。

• 方案一：每次连续跑 $3$ 公里可以消耗 $300$ 千卡（耗时半小时）；
• 方案二：每次连续跑 $5$ 公里可以消耗 $600$ 千卡（耗时 $1$ 小时）。

小胖每周周一到周四能抽出半小时跑步，周五到周日能抽出一小时跑步。 另外，教练建议小胖每周最多跑21公里，否则会损伤膝盖。 请问如果小胖想严格执行教练的训练方案，并且不想损伤膝盖，每周最多通过跑步消耗多少千卡？（）

这题本质是贪心：先算出两种方案每公里的燃脂效率，发现方案二更优，于是优先把周末的三次机会全用掉，剩下的距离再塞方案一，同时别忘了一周最多21公里的硬约束。

学生最容易掉进两个坑：一是看到周一到周四只能跑方案一，就机械地想‘每天必须跑’，结果凑出4次方案一+3次方案二=3000千卡，完全忽略了21公里的上限；二是被题目里的C(n,m)符号误导，以为是在考组合数，其实C只是选项标记。正确做法是先把距离限制作为第一优先级，再在剩余空间里贪心填高能效的方案。

考察知识点：贪心策略 + 线性约束下的整数规划（入门级常考这种小模型）

概念定义：

• 方案一：3km/次，300kCal，耗时0.5h（周一到周四可用）
• 方案二：5km/次，600kCal，耗时1h（周五到周日可用）
• 距离硬约束：一周最多21km
• 时间硬约束：周一到周四每天最多1次方案一（共4次），周五到周日每天最多1次方案一或方案二（共3次）

命题视角：命题人故意把两个方案的能效设计成整数倍（方案二每公里120kCal，方案一每公里100kCal），诱导学生直接贪心；同时用"C(n,m)"这种数学符号混在选项里，制造视觉干扰，测试学生是否会被符号吓住。真正的坑在于"周一到周四只能跑方案一"和"周五到周日只能跑方案二"的时间分配，以及"最多21km"的总距离限制。学生如果只盯着时间分配，很容易算出4次方案一+3次方案二=3000kCal，却忘了距离超标。

思考心法：拿到题先算效率，再排优先级，最后填坑。 1. 算效率：方案二每公里600/5=120kCal，方案一每公里300/3=100kCal。显然方案二更划算。 2. 优先用方案二：一周只有周五到周日3天能跑方案二，所以y=3是上限。 3. 检查距离：3次方案二已用15km，剩余21-15=6km。 4. 填方案一：6km可以跑2次方案一（2×3=6km），且周一到周四有4次机会，2次完全够用。 5. 计算总消耗：2×300 + 3×600 = 600 + 1800 = 2400kCal。

具体计算： 设x为方案一次数，y为方案二次数。 约束：

• x ≤ 4（周一到周四）
• y ≤ 3（周五到周日）
• 3x + 5y ≤ 21

目标：max(300x + 600y)

从y=3开始试：3x + 15 ≤ 21 → x ≤ 2，此时消耗=300×2+600×3=2400。 再试y=2：3x + 10 ≤ 21 → x ≤ 3，但x≤4，消耗=300×3+600×2=2100，比2400小。 y=1或0时消耗更小。 因此最优解是x=2, y=3，共2400kCal，对应选项C。

避坑：

• 别被"C(n,m)"吓到，它只是选项标记，不是组合数。
• 别机械地认为"周一到周四必须每天跑"，题目只说"能抽出半小时"，没说必须跑。
• 别忽略21km上限，这是本题的核心约束，一旦突破就会得到错误答案3000。

考频与趋势： 简单动态规划在题库中已考过94题，覆盖8个级别，2023-2026年考频激增（2023年15题、2024年23题、2025年25题、2026年13题），说明这类"小模型"是入门级高频考点。贪心算法也考了71题，近年同样呈上升趋势（2024年16题、2025年12题、2026年24题）。两类考点常在同一题中交织，命题人喜欢用"效率对比+硬约束"来测试学生是否真的理解了贪心的本质。

预测： 基于近年考频，未来入门级题目仍会大量出现此类"小模型"，但难度可能略有提升，例如增加更多约束（如不同时间段效率不同、或引入体力值衰减等），或者把距离限制改成更复杂的函数形式。不过，"先算效率、再排优先级、最后填坑"的核心思路不会变。暂无足够依据预测具体题型变化，但可期待更多结合现实场景（如减肥、旅行预算）的贪心/动态规划小模型题。