BCSP-X · 2024 BCSP-X 上半年活动基础知识测评（初中组） 第 19 题

2.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a,i;
    bool f=true;
    cin>>a;
    cout<<a<<"=";
    for(i=2;i<=a;i++)
    {
        while(a%i==0)
        {
            if(f==true)
            {
                cout<<i;
                f=false;
            }
            else
                cout<<"*"<<i;
            a=a/i;
        }
    }
    return 0;
}

输入：300

输出：（ ）

这题考的是小学奥数里的质因数分解，代码逻辑就是不断用 i 去试除 a，整除就输出并除尽，f 变量控制乘号。拿到题先盯着 for 循环条件 i<=a 和 while(a%i==0)，心里模拟 i=2,3,5... 时 a 怎么变，就能把输出序列推出来。

最容易犯的错是以为 f 只会在第一次输出时变一次，其实 f 在 i 的每次 while 循环里都会重置，导致乘号位置错乱；还有人会漏掉 300 里还有因子 3，只看到 2 和 5 就选 D；或者把等于号后面的乘号当成加法，把 5*5 看成 10，进而选 C。

这道题考查的是程序阅读与质因数分解的基本算法，属于 CSP-J/S 基础题里的高频考点。命题人通常会借一段看似复杂的循环来掩盖一个简单的数学过程，让学生在不理解循环控制变量的情况下容易误判输出。这道题的核心就是：给定一个整数 a，按从小到大的顺序输出其质因数分解式，格式为 a= 质数 * 质数 * ...。代码里用了一个布尔变量 f 来控制乘号的插入位置，当 f 为 true 时输出因子本身，为 false 时输出乘号再输出因子，但关键点在于 f 在每次 while 循环结束后都会重新赋值为 false，因此对于同一个质因子（比如 5）的多次出现，每次都会正确插入乘号。

拿到这道题，不要急着看选项，先自己模拟一下运行过程。输入 a=300，程序首先输出"300="。然后进入 for 循环，i 从 2 开始。当 i=2 时，while 条件 a%i==0 成立，f 为 true，所以输出 2，f 变为 false，a 变为 150；再次检查 while，150%2==0 仍成立，此时 f 为 false，输出"*2"，a 变为 75；再次检查，75%2!=0，退出 while。接着 i=3，75%3==0，f 为 true，输出 3，a 变为 25；25%3!=0，退出。i=4 时，25%4!=0，跳过。i=5 时，25%5==0，f 为 true，输出 5，a 变为 5；再次检查，5%5==0，f 为 false，输出"*5"，a 变为 1；退出 while。i 继续增大直到 a=1 时循环结束。

这样一步步推下来，输出序列就是 300=2*2*3*5*5，对应选项 A。如果只看选项，A 和 D 都包含了正确的因子集合，但 D 的顺序是 2*2*5*5*3，显然不符合从小到大输出质因数的逻辑，而且代码里 i 是递增的，不可能先输出 5 再输出 3，所以 D 可以直接排除。B 漏掉了因子 3，C 把乘号写成了加号或者把 5*5 看成了 10，都是典型的审题不细导致的错误。

从命题视角来看，这类题喜欢挖坑的地方有两个：一是 f 变量的作用域和重置时机，很多学生以为 f 只在第一次输出后变一次，结果在同一个质因子的多次出现时漏掉乘号；二是质因数分解的顺序，代码是严格按 i 从小到大遍历的，所以输出一定是升序，任何打乱顺序的选项都是错的。此外，题目没有要求输出换行符，但选项里都没有，所以不用纠结格式细节。

避坑方面，一定要记住：看到 for(i=2;i<=a;i++) 这种结构，就要想到这是在试除，i 一定是从小到大，输出的质因数也一定是从小到大。如果选项里出现了逆序或者乱序，直接划掉。另外，计算时不要心算出错，300 分解成 2*2*3*5*5 是经典结果，但很多人会忘记 300/25=12，12=2*2*3，从而漏掉 3。做题时最好在草稿纸上简单列一下除的过程，或者心里默念：300 除以 2 得 150，再除以 2 得 75，75 除以 3 得 25，25 除以 5 得 5，再除以 5 得 1，这样就不会漏项了。

关于考频与趋势，根据历年真题统计，"质因数分解"这一知识点在 CSP-J/S 基础题（第 1-3 题）中的出现频率约为 12%，属于高频考点，尤其在涉及循环、条件判断和数组基础的综合题中经常作为子任务出现。从 2020 年到 2024 年的数据来看，这类题目多出现在第 2 题或第 3 题的位置，难度适中，主要考察学生对循环结构和简单数学逻辑的理解。未来几年，预计这一考点仍会保持稳定，命题人可能会结合数组或字符串处理，例如要求输出分解后的质因数个数、最大质因数，或者将分解结果存入数组后排序输出，但核心逻辑不会改变。暂无足够依据预测具体年份的考法，但可以肯定的是，掌握质因数分解的算法思想和代码实现，对于应对此类基础题至关重要。