BCSP-X · 2024 BCSP-X 上半年活动基础知识测评（初中组） 第 12 题

一棵完全二叉树有 72 个结点，那么它的叶子结点有（ ）个。

这题别想复杂了，完全二叉树叶子数有个铁律：n 为偶数时是 n/2，n 为奇数时是 (n+1)/2。72 是偶数，直接 72/2 就出答案，画图验证一下最后一层确实满了，完美。

学生最容易掉进两个坑：一是死记硬背二叉树性质，看到 72 个节点就以为叶子是 36，完全忘了完全二叉树的特殊性；二是混淆遍历序列，把中序前序后序的规律硬套进来，结果越算越偏。其实完全二叉树的叶子分布极其规则，最后一层要么全满要么靠左，根本不需要遍历就能算准。

这道题考查的是二叉树的基本性质，特别是完全二叉树的特殊结构。完全二叉树定义很明确：除最后一层外，每一层都是满的，且最后一层的节点都靠左排列。这种规则性让叶子结点的计算变得非常简单，不需要遍历树，也不需要画图（虽然画出来验证一下很稳妥）。核心公式就是：若节点总数 n 为偶数，叶子数 = n/2；若 n 为奇数，叶子数 = (n+1)/2。这个结论怎么来的？因为完全二叉树中，叶子节点只可能出现在最后一层或倒数第二层。当 n 为偶数时，最后一层节点数一定是偶数，且由于靠左排列，倒数第二层的节点数正好是最后一层节点数的一半，也就是总节点数的一半，所以叶子数就是 n/2。当 n 为奇数时，最后一层节点数是奇数，倒数第二层节点数比最后一层多 1 个，总叶子数就是 (n+1)/2。命题人喜欢在这里挖坑，就是让学生把普通二叉树的性质（比如叶子数在 1 到 (n+1)/2 之间）和完全二叉树的精确公式搞混，或者让学生误以为必须通过遍历序列来推导。其实拿到这种题，先判断 n 的奇偶性，直接套公式就能秒杀。72 是偶数，所以叶子数 = 72/2 = 36，答案选 C。避坑要点：千万别用普通二叉树的模糊范围去猜，完全二叉树是精确的；也别把遍历序列的规律（比如前序根左右）硬搬进来，这题跟遍历顺序毫无关系。考频方面，二叉树性质在 CSP-J/S 中属于高频考点，完全二叉树的这一条公式更是年年必考，学生必须滚瓜烂熟。未来预测：鉴于该公式的简洁性和完全二叉树的规则性，出题人大概率会继续用这种纯计算的方式考查，难度不会变，但可能会在题干中稍微包装一下，比如给出一棵完全二叉树的深度或层数，让学生先换算节点数再套公式。总之，掌握这个公式，这类题基本就稳了。