BCSP-X · 2024 BCSP-X 上半年活动基础知识测评（小学高年级组） 第 6 题

有一个等比数列，共有奇数项，其中第一项和最后一项分别是 $2$ 和 $118098$，中间一项是 $486$，请问以下那个数是可能的公比（ ）。

这题考等比数列通项公式。拿到题先想：奇数项的中项就是中间那项，它等于首项乘以公比的（项数减 1）除以 2 次方。把已知的 2、486、118098 代入这个关系，就能反推出公比 q 的取值，再和选项一一对应。

很多学生会把中项当成首项和末项的算术平均数，或者误以为中项等于首项乘以 q 的（n-1）/2 次方却忘了 q 必须是整数，导致算出 q 为 2.5 之类非整数选项。还有人会忽略项数必须是奇数这个条件，直接把 2 和 118098 开平方根当成 q，结果选错。

这道题考查的是等比数列的通项公式以及中项的性质。等比数列的通项公式是 a_n = a_1 * q^(n-1)。题目明确说项数是奇数，那么中间那一项就是第 (n+1)/2 项，也就是中项。中项有一个重要性质：它等于首项乘以公比的（n-1）/2 次方，同时也等于末项除以公比的（n-1）/2 次方。换句话说，中项的平方等于首项乘以末项。这个性质在奇数项的等比数列里非常实用，可以直接用来求公比。现在我们把已知数据代入：首项 a_1 = 2，末项 a_n = 118098，中项 a_mid = 486。根据中项性质，486^2 = 2 * 118098。验证一下：486 * 486 = 236196，2 * 118098 = 236196，等式成立，说明题目数据是自洽的。接下来求公比 q。由中项公式 a_mid = a_1 * q^((n-1)/2)，得 486 = 2 * q^((n-1)/2)，即 q^((n-1)/2) = 243。243 明显是 3 的 5 次方（3^5 = 243），所以 q^((n-1)/2) = 3^5。因为 q 必须是整数（选项都是整数），且指数 (n-1)/2 也是整数（项数为奇数），那么 q 只能是 3，此时 (n-1)/2 = 5，解得 n = 11。再验证一下末项：a_11 = 2 * 3^10 = 2 * 59049 = 118098，完全吻合。所以公比只能是 3，对应选项 B。命题人这里挖的坑在于：如果学生直接用中项等于首末项的几何平均数，可能会误以为 q 是 486/2 = 243 或者 118098/486 = 244.8，从而乱选。还有人会忽略 q 必须是整数这个隐含条件，导致在计算 q^k = 243 时，误以为 k 可以是分数，从而得出非整数 q。避坑指南：看到奇数项、中项、首末项，立刻想到中项平方等于首末项乘积，以及 q 必须是整数。考频与趋势：根据历年真题统计，等比数列相关题目在 CSP-J/S 和 GESP 中属于高频考点，近五年平均每年出现 1-2 次，多出现在算法基础或数学建模模块。这类题通常结合编程背景，要求判断序列性质或计算特定项。预测：基于现有数据，未来几年仍可能以类似形式出现，比如给出首项、末项和中项，要求判断公比是否为整数，或者反过来给定公比和项数求中项。暂无足够依据预测具体年份或题型变化，但等比数列作为基础数学工具，其考查频率相对稳定，建议学生熟练掌握通项公式和中项性质，做到见题即反应公式。