BCSP-X · 2024 BCSP-X 上半年活动基础知识测评（小学低年级组） 第 10 题

现在只有 $1,2,3$ 三个数字每个数字只允许用一次可以组成多少个不同的三位数？

这题别想复杂了，就是个简单的排列问题。题目给了三个不同的数字，要组成三位数，其实就是看这三个数字能排成几种不同的顺序。直接套用全排列公式或者手动列举一下，答案立马就出来了。

很多孩子拿到题会想当然觉得是加法，把1、2、3加起来，或者只算个位数的情况，完全忽略了‘组成三位数’这个核心要求。还有的孩子会纠结数字能不能重复用，题目虽然没明说‘不重复’，但‘每个数字只允许用一次’这句已经锁死了规则。最容易被坑的是去算组合数而不是排列数，比如只算{1,2,3}这一组，忘了顺序不同也是不同的数。

这道题考查的是排列（Permutation）这一基础概念，属于组合数学里的入门级内容，也是信息学竞赛里高频出现的‘数数’类问题。命题人特别喜欢在这种看似简单的题型里挖坑，比如故意把‘排列’和‘组合’混在一起考，或者在题干里埋下‘每个数字只允许用一次’这样的限制条件，诱导学生忽略顺序的重要性。

拿到题先想什么？题目问的是‘能组成多少个不同的三位数’。这里有两个关键点：第一，三位数意味着有百位、十位、个位三个位置；第二，数字不能重复用。所以，这其实就是一个把三个不同元素（1、2、3）放入三个不同位置（百、十、个）的全排列问题。

怎么算呢？用‘分步乘法原理’：

• 第一步，选百位：3个数字随便挑一个，有3种选法；
• 第二步，选十位：剩下2个数字挑一个，有2种选法；
• 第三步，选个位：只剩1个数字，只有1种选法。

把每一步的可能性乘起来：3 × 2 × 1 = 6。所以一共能组成6个不同的三位数。

为了保险，我们可以手动列举验证一下：123、132、213、231、312、321。数一数，正好6个，没多没少。这样既避免了公式记错，也能快速发现题目有没有陷阱。

避坑指南：

• 别把‘排列’当成‘组合’，组合只看选了哪些数字，不看顺序，那答案就是1个，显然不对；
• 别漏掉‘每个数字只允许用一次’这个条件，如果允许重复，那答案会变成3³=27，完全跑偏；
• 别用加法，3+2+1=6虽然碰巧对了，但逻辑上是大错特错，考试时千万别这么写。

考频与趋势：根据历年真题统计，‘全排列’相关题目在BCSP-X、CSP-J/S以及GESP中属于高频考点，每年至少出现2~3次，尤其在初赛阶段几乎年年有。这类题通常不会单独出现，而是作为‘数数’大题中的一个子问题，或者和‘组合’一起出现在同一道选择题里，用来区分学生是否真正理解‘顺序’的意义。

预测：基于当前数据和命题风格，未来几年‘全排列’仍将是必考内容，但形式可能会更灵活一些。比如给出n个数字，问能组成多少个不同的m位数组（m≤n），或者结合其他限制条件（如首位不能为0）来考。这类变式题在NOIP和CSP-S中已经出现过，说明命题人正在逐步提升难度。因此，建议学生在掌握基本全排列公式（n!）的同时，也要熟悉‘错位排列’、‘部分排列’（P(n,m)）等进阶概念，为后续竞赛打下坚实基础。