BCSP-X · 2024 BCSP-X 下半年活动基础知识测评（初中组） 第 14 题

有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗，分别有 $2,2,3,3$ 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，那么这些旗子总共可以表示出（ ）种不同的信号。

这题考排列组合，关键是分清‘同色旗子是否可区分’。别被‘四种颜色’带偏，其实红有2面、黄有2面、蓝有3面、绿有3面，取三面按顺序排，得分类讨论同色重复的情况。

最容易错在把同色旗子当成不同个体去算，或者漏掉‘三面同色’这种极端情况。比如有人直接4×3×2=24再乘颜色数，或者只算三面不同色的情况，把三面同色和两面同色的数漏掉，最后算出来远小于正确答案。

这道题考什么

这是一道经典的排列组合题，核心是有限重复元素的有序排列。命题人特意给了四种颜色，每种颜色面数不同（红2、黄2、蓝3、绿3），就是要你处理“三面同色”“两面同色”“三面不同色”这三种情况，并且每种情况里还要考虑具体是哪两种颜色在重复。

概念：人话版

排列组合里，如果元素完全相同，顺序换不换都不算新方案；如果元素不同，顺序换就要算新方案。这题里，同色的旗子虽然颜色一样，但题目没说旗子本身有编号，所以同色的三面旗子完全不可区分。我们只需要关心：选出来的三面旗子颜色组合是什么，以及它们的排列顺序。

命题视角：爱挖哪里的坑

命题人最喜欢在这里设坑： 1. 漏掉三面同色：很多人只算“三面不同色”和“两面同色”，忘了“三面同色”这种极端情况。 2. 重复计数：把同色旗子当成不同个体，导致三面同色时算成 $4 \times 3 \times 2 = 24$，而不是 $4 \times 1 = 4$。 3. 颜色组合算错：两面同色时，要先选哪两种颜色在重复（从4种里选2种），再决定谁重复（2种选法），最后乘上排列数。 4. 排列数混淆：三面不同色是 $3! = 6$，但有人误以为同色时排列数还是6，其实同色时只有一种排法。

思考心法：拿到题先想什么

拿到题，我脑子里立刻蹦出三个分支：

• 三面同色：颜色必须足够多，只有蓝和绿有3面，红和黄只有2面，所以只有蓝或绿能凑三面同色。
• 两面同色：从4种颜色里选2种，决定哪两种是重复的，再决定哪一种重复（两种选法），然后排列。
• 三面不同色：直接从4种颜色里选3种，然后全排列。

具体怎么算（一步步推）

1. 三面同色

只有蓝和绿有3面，所以只能选蓝或绿。

• 选蓝：三面蓝，只有一种排法。
• 选绿：三面绿，只有一种排法。

小计：$2$ 种。