BCSP-X · 2024 BCSP-X 下半年活动基础知识测评（小学高年级组） 第 5 题

与二进制数 $11.11$ 相等的八进制数是（ ）。

这题考进制转换，别被二进制小数吓到。核心就一步：把二进制每一位当成 2 的幂次（整数是 2^1,2^2...，小数是 2^-1,2^-2...）展开成十进制，再直接转八进制，或者更简单，利用 2 的 3 次方等于 8，直接把二进制每 3 位一组打包成八进制数。

最容易栽跟头的地方是二进制小数转十进制时，把小数点后的位权搞反了，比如把第一位当成 1/2 却算成了 2；或者看到 11.11 就下意识想凑八进制，结果把整数部分 11 当成十进制的 11 去转，忘了二进制里 11 其实是 3；还有一种坑是选项里有 3.75，那是十进制的写法，学生容易混淆进制符号，以为 3.75 就是八进制的 3.75，其实八进制里 7 和 5 必须小于 8，但 3.75 这个数本身在八进制里是合法的，只是它对应的二进制不是 11.11，而是 3.6 对应的二进制。

考点与概念

这题考查的是进制转换，特别是二进制小数与八进制数之间的互化。核心概念就一个：不同进制的数，本质上是同一数值的不同“打包方式”。

• 二进制：逢 2 进 1，每一位的权值是 2 的幂次。整数部分从右往左是 $2^0, 2^1, 2^2...$，小数部分从左往右是 $2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}...$。
• 八进制：逢 8 进 1，每一位的权值是 8 的幂次。它的最大数字是 7。
• 关键联系：因为 $2^3 = 8$，所以二进制每 3 位正好对应八进制的 1 位。这是解题的“大招”，比硬算十进制快多了。

命题视角：为什么考这个？

命题人喜欢考这种“看起来复杂，其实有规律”的数。二进制 $11.11$ 乍一看像一堆 1，容易让人慌神。但如果你懂 $2^3=8$ 这个关系，就会发现它其实是个很整齐的数。

常见的坑点在于：混淆十进制与八进制的写法。比如选项 C 是 $3.75$，这看起来像个合法的八进制数（因为 7 和 5 都小于 8），但它的二进制展开并不是 $11.11$。学生如果只盯着数字看，不转成二进制验证，很容易选错。