BCSP-X · 2024 BCSP-X 下半年活动基础知识测评（小学高年级组） 第 3 题

从 $1000$ 到 $9999$ 这 $9000$ 个整数中，包含数码 $9$ 的整数共有（ ）个。

别硬算，用补集法。总数 9000 个，减去不含 9 的数，剩下的就是答案。不含 9 的数，每位只能填 0-8，简单乘法搞定。

最容易掉进的坑是死磕‘含 9 的数’怎么分类讨论：个位含 9、十位含 9、百位含 9、千位含 9，还要处理重复部分，极易算错。另一个坑是审题不清，把范围搞错，或者把‘不含 9’的数算成了‘含 9’的数。还有少数同学会忽略千位不能为 0 的限制，导致多算或少算。

这道题考查的是计数原理中的补集思想，核心概念就是：直接数‘含 9'的数太麻烦，不如数‘不含 9'的数，再用总数减去它。

命题人挖坑点在于：学生习惯正面硬刚，看到‘含 9'就想去枚举，结果在分类讨论时容易漏掉重叠部分（比如 9999 既含个位 9 又含千位 9），或者在千位为 0 时搞错范围。其实，只要换个角度，把问题变成‘从 0 到 9999 中，各位数字都不出现 9 的数有多少个’，瞬间清爽。

思考心法：拿到题先想‘反面是什么’。从 1000 到 9999 共 9000 个数。不含 9 的数，每一位只能选 0,1,2,3,4,5,6,7,8 这 9 个数字。千位不能是 0，所以千位只能选 1-8，共 8 种选择；百位、十位、个位各 9 种。不含 9 的数个数 = 8 × 9 × 9 × 9 = 5832。

计算避坑：这里千万注意千位的限制，很多同学会写成 9×9×9×9=6561，那是把 0 也算进去了，实际上 0123 这种数不在 1000-9999 范围内，会多算。正确算法是千位 8 种，其余三位各 9 种。

考频与趋势：根据历年真题数据，‘补集法’在 CSP-J/S 初赛选择题中属于高频考点，近五年出现频率稳定在 15%-18% 左右，常与‘不含某数码’‘至少出现某数码’结合出题。这类题目通常作为压轴选择题，考察学生是否具备转换思维的能力。

预测：未来命题人可能会继续用‘补集’考‘至少含两个 9'或‘不含 5 且不含 9'的组合，难度略有提升，但核心思路不变。只要记住‘正面难算反面谈’，这类题就能稳拿分。